帶微積分的物理學/力學/能量與能量守恆/勢能

勢能是由於物體位置而儲存在物體中的能量。 存在幾種型別的勢能。

重力

重力勢能涉及兩個物體之間力的線積分 ($m_{1}$ 和 $m_{2}$)。 根據牛頓萬有引力定律，力為

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\;{\hat {r}}$

我們積分得到勢能

$U_{g}(r)=-\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} _{g}\,dr'=\int _{\infty }^{r}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}$

這裡，我們取參考點（勢能等於零的點）為 $r=\infty$。 有時，在處理由於重力引起的加速度差異可以忽略不計的小距離時，我們透過假設 $r=R+y$，其中 $R$ 是地球半徑， $y<<R$ 是高於地球表面的高度。 取 $m_{2}$ 為行星的質量

$F_{g}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{R^{2}}}$

$g={\frac {Gm_{2}}{R^{2}}}$.

注意向量 $g$ 指向 $-{\hat {r}}$ 方向。 將其代入 $U_{g}$ 的積分

$U_{g}=-\int _{0}^{y}(-m_{1}g{\hat {r}})dr'=m_{1}gy$,

現在，參考點在地球表面上。

彈性

彈性勢能是指儲存在被壓縮或拉伸的物體（例如彈簧）中的能量。物體中儲存的能量取決於彈簧常數 ($k$) 和偏離靜止位置的位移 ($x$)。需要注意的是，無論物體是壓縮還是拉伸，能量的大小都是相同的。考慮到力

$\mathbf {F} _{s}=-k\mathbf {x}$

我們對它進行積分，得到能量

$U_{s}=-\int \mathbf {F} _{s}\,dx=\int -k\mathbf {x} \,dx={\frac {1}{2}}k\mathbf {x} ^{2}$