微積分物理學/力學/動量和動量守恆

動量和能量

動量是一個物理量，等於物體的質量乘以其速度。動量與能量有關，就像能量一樣，它在一個封閉系統（一個沒有能量進入或離開的系統）中保持守恆。經典地，動量定義如下

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

其中粗體 P 和 v 表示向量。

其中w:動能定義為

$E=\left({\frac {1}{2}}\right)mv^{2}$

因此，

$2E/\mathbf {v} =\mathbf {p}$

另外請注意

${\frac {dE}{dv}}=p$

也就是說，動量可以用來測量物體速度變化時動能的變化。

力和動量

力定義為物體的質量乘以其加速度

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

加速度是速度的導數，它是距離隨時間的變化的向量形式。因此，加速度的積分是速度

$\int adt=v$

利用這一點，我們可以很容易地看到力的積分是如何成為動量的

$\int Fdt=m\int adt=mv=p$

動量守恆

回想一下來自質心的主要結果，對於一個粒子系統

$F=M{\frac {dV}{dt}}={\frac {dMV}{dt}}$

其中 F 是外力的總和，M 是總質量，V 是質心的速度（即質心的時間導數）。如果 F = 0，我們有 $MV=\sum _{i}m_{i}v_{i}=const$ . 如果我們定義 $m_{i}v_{i}$ 為一個粒子的動量，那麼我們有動量守恆定律——當沒有外力時，總動量守恆。換句話說，你開始時的動量將是你最終的動量。假設你在打檯球，你想把八號球打進右角袋。然而，作為挑戰，你的對手把八號球滾過桌子。動量守恆可以用一個簡單的公式來概括

$\sum p_{i}=\sum p_{f}$

當你用球杆擊打白球，你的對手把八號球滾過球桌時，你給了白球一定的速度 v_1，八號球一定的速度 v_2。因此，整個系統的初始動量為

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=\sum p_{i}$

作為一名擁有精湛技術的檯球高手，白球擊打八號球，八號球飛入球袋。碰撞後，系統的動量為

$m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=\sum p_{f}$

你能猜到下一步我們該做什麼嗎？既然我們知道系統的動量是守恆的，我們可以把這兩個等式設定為相等

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=\sum p_{i}=\sum p_{f}$

現在，有很多方法可以解決這些方程，這取決於透過實驗給出的或確定的值。如果我們確定了質量和初始速度，再加上一個最終速度，我們可以用這種簡單的代數方法來解方程

$(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}v_{1}')/m_{2}=v_{2}'\Rightarrow (m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{2}v_{2}')/m_{1}=v_{1}'$

這裡的“ $\Rightarrow$ "符號表示“這意味著”。顯然，如果你能解出 v1'，你就能解出 v2'。

現在讓我們嘗試一些更難的事情。假設我們是窮困的大學生，買不起測量速度的機器。然而，我們可以測量力和質量。我們故意用 3N 的力擊打白球，用 1N 的力滾動八號球。如果我們現在想找到動量，我們就必須使用給定的資訊來計算它們。我們可以使用這個巧妙的公式

$\int Fdt=\int madt=mv=p$

（我只是對 F = ma 進行了時間積分）。因此，我們的動量很容易計算出來

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}3\,dt=p_{1}\quad and\quad \int _{t_{1}}^{t_{2}}1\,dt=p_{2}$

記住，因為力的積分是動量，動量等於力曲線（按時間）下的面積。換句話說，當你擊打白球時，你在一段時間內施加了一定的力。如果你要繪製它，白球在時間間隔結束時的動量將是該曲線到該點的總面積。

動量守恆定律當然可以應用於兩個碰撞物體形成一個大物體的這種情況。假設你的檯球是用粘土做的，當你的白球擊中八號球時，它們粘在一起形成一塊大的粘土。動量守恆方程現在看起來像這樣

$\sum p_{i}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=\sum p_{f}=(m_{1}+m_{2})/v'$

--Mattciv 18:21, 7 August 2005 (UTC)

連續系統

現在是一個很好的時間來研究一類涉及連續質量分佈的有趣問題。經典的例子是燃燒燃料並以相對於火箭的速度 v 噴出廢氣的火箭。如果火箭最初的質量為 $M_{0}$ ，並且以 b 的速率燃燒燃料，那麼火箭的速度是如何隨燃燒的質量（或等效地，自燃燒質量為 bt 以來的時間）變化的？

考慮火箭在兩個時間 t 和 t + dt。在 t 時，它的速度向前為 u，質量為 M。在 t + dt 時，它的速度為 u + du，質量為 M - dm，並且已經以 u - v 的速度向前噴射了小質量 dm（這樣它相對於火箭的速度為 -v）。利用動量守恆定律，

$Mu=(M-dm)(u+du)+(u-v)dm$ .

這簡化為

$du=v{\frac {dm}{M}}$

注意到兩個小量的乘積實際上非常非常小，我們可以安全地將 $dudm$ 視為零。

積分得到

$\Delta u=v\ln({\frac {M}{M_{0}}})$ .

或者，如果我們想找到 u 作為時間的函式，只需將 $M=M_{0}-bt$ 代入。

正如你所看到的，動量守恆定律為這類問題提供了強有力的工具。如果我們想找到遠離地球的火箭的速度，我們必須注意到動量守恆定律並不完全成立，但是 $p(t+dt)=p(t)+Fdt$ ，這與 F = ma 是同一件事。

使用微分（或者如果你堅持這種說法，使用增量）是一個非常有用的技巧，它可以讓你為大多數系統（如果你非常聰明，所有的系統）寫出微分方程，所以這是一個值得記住的技巧。