Julia 集和 Mandelbrot 集的圖片/Mandelbrot 集

有趣的 Julia 集

醜陋的 Julia 集

在外觀上，Julia 集可以從一個極端到另一個極端。如果我們有一個包含復引數 c 的函式族，我們會觀察到，絕大多數的 c 值的 Julia 集完全沒有興趣。事實上，吸引人的 Julia 集非常罕見。

這些 Julia 集僅僅是透過考慮一個迭代族並由此構造平面上的一個集合而得到的，這個集合可以作為 Julia 集的圖集，因為如果我們在該集合中找到一個有趣的區域性區域，我們就可以確定此區域的模式的一部分將在與這些點相關的 Julia 集的（自相似）結構中反映出來。這樣的集合稱為 Mandelbrot 集。

因此，如果我們有一個函式 $f(z)$，我們會在其中引入一個復引數 c，通常透過加法：$f(z)+c$.

Mandelbrot 集的構造

Mandelbrot 集的構造基於對函式 $f(z)$ 的兩個臨界點 $zc_{1}$ 和 $zc_{2}$ 的選擇：Mandelbrot 集（與函式族 $f(z)+c$ 和臨界點 $zc_{1}$ 和 $zc_{2}$）由複數 c 組成，使得以 $zc_{1}$ 和 $zc_{2}$ 開始的（透過 $f(z)+c$）的迭代序列不具有相同的終點。這個集合通常被塗成黑色。

Mandelbrot 集外部域的著色

一個點 c 位於 Mandelbrot 集的外部，意味著第二個臨界點 $zc_{2}$ 位於與第一個臨界點 $zc_{1}$ 相同的 Fatou 域（對於迭代 $f(z)+c$），我們可以給 c 賦予該 Fatou 域中點 $zc_{2}$ 的顏色。

為了繪製曼德勃羅集併為其外部區域著色，我們必須選擇一個最大迭代次數 M，一個非常小的數字 $\epsilon$（用於迭代至有限迴圈）和一個非常大的數字 N（用於迭代至 ∞）。

如果 $zc_{1}$ = ∞（且 d ≥ 2，因此 ∞ 是一個臨界點和一個（超吸引）不動點），我們當然不需要迭代 $zc_{1}$：我們迭代 $zc_{2}$（透過 $f(z)+c$）如果對於某個迭代次數 k < M，$|z_{k}|$ > N，則 c 位於曼德勃羅集之外，我們用與我們為包含 ∞ 的法圖域中的 z 著色相同的方式為 c 著色。如果我們達到了最大迭代次數 M，我們認為 c 屬於曼德勃羅集。

如果 $zc_{1}$ 是一個有限的臨界點，並且如果 $zc_{1}$ 的迭代（透過 $f(z)+c$）執行到最大迭代次數 M 時，終點很可能是一個非超吸引的有限吸引迴圈（如果不是，則畫素顏色可能存在錯誤，但實際上這無關緊要）。如果這次迭代的最後一個點是 z*，則 z* 屬於該迴圈，但我們必須知道該迴圈的階數和吸引力。因此，我們繼續迭代：從 z* 開始，一直執行到 $|z_{k}-z*|<\epsilon$，則完成此操作所需的迭代次數就是該迴圈的階數 r，我們以與之前相同的方式計算吸引力 $\alpha$：1/$\alpha$ 是該迴圈 r 個點中數字 $|f'(z_{i})|$ 的乘積。此後，我們迭代 $zc_{2}$（透過 $f(z)+c$），並在 $|z_{k}-z*|<\epsilon$ 時停止。如果這次迭代一直執行到最大迭代次數 M，我們認為 c 屬於曼德勃羅集。如果對於 k < M，$|z_{k}-z*|<\epsilon$，我們根據 k 對 c 著色，或者更確切地說，是根據相應的實際迭代次數著色，該迭代次數以與法圖域相同的方式找到，透過將 k 除以 r（並取整數部分），並從該數字中減去 $log(\epsilon /|z_{k}-z*|)/log(\alpha )$.

如果迴圈包含 ∞，也就是說，如果 $zc_{1}$ 的迭代被 $|z_{k}|$ > N 停止，其中 k < M，我們將 ∞ 作為迴圈的選定點，並繼續迭代，直到我們再次得到 $|z_{k}|$ > N，那麼完成此迭代所需的迭代次數就是迴圈的階數。然後，我們迭代 $zc_{2}$ （透過 $f(z)+c$），並當 $|z_{k}|$ > N 時停止。如果此迭代執行到最大迭代次數 M，我們將 c 視為屬於曼德布羅特集合。如果 $|z_{k}|$ > N 對於 k < M，我們將 c 按照 k 著色，或者更準確地說，按照相應的真實迭代次數著色，其計算方式與法圖域相同，將 k 除以 r（並取整數部分），然後從該數字中減去 $log(log|z_{k}|/log(N))/log(|d|^{r})$.

曼德布羅特集邊界的著色

一個點 c 位於曼德布羅特集之外，意味著第二個臨界點 $zc_{2}$ 位於與第一個臨界點 $zc_{1}$ 相同的法圖域（對於迭代 $f(z)+c$），並且估計 $zc_{2}$ 到該法圖域中的朱利亞集的距離，是估計 c 到曼德布羅特集邊界的距離。因此，曼德布羅特集的邊界可以以與朱利亞集相同的方式著色，但現在 $z_{k}$ 的導數不是關於 z 的，而是關於 c 的。

如果我們設定 $g(z)=f(z)+c$，我們有 $z_{k}=g(g(...g(z)))$（k 重複合）（起始值 z 首先是 $zc_{1}$，然後是 $zc_{2}$），然後我們找到 $z'_{k}$ 對 c 的導數，透過遞迴：我們有 $z'_{k+1}=f'(z_{k})z'_{k}+1$，並且我們依次找到 $z'_{k}$，從 $z'_{0}$ = 0 開始，並（在之前）計算下一個迭代值 $z_{k+1}=f(z_{k})+c$，分別從 z = $zc_{1}$ 和 $zc_{2}$ 開始。

除了透過迭代 $zc_{1}$ M 次找到迴圈中的點 z*，我們現在也計算了 z* 對 c 的導數 z*'，並且在迭代 $zc_{2}$ 進入迴圈時，我們現在也計算了 $z'_{k}$ 對 c 的導數。 $\delta (z)$ 的公式適用於兩種情況

$\delta (z)=$lim_k→∞$|z_{kr}-z*|/|z'_{kr}-z*'|$ (非超吸引)

$\delta (z)=$lim_k→∞$log|z_{k}||z_{k}|/|z'_{k}|$ (d ≥ 2 且 z* = ∞)

當最後一次迭代的這個數值小於給定的一個很小的數值時，我們將點 c 塗成深藍色，例如。

為什麼 Mandelbrot 集作為 Julia 集的圖集

如果我們選擇 Mandelbrot 集邊界附近的一個點 c，那麼 $f(z)+c$ 的 Julia 集將具有（自相似）結構，該結構與 Mandelbrot 集在該區域性區域的一些特徵相同。在簡單情況下 $f(z)=z^{2}+c$ （通常的 Mandelbrot 集），c 的 Julia 集的結構與 Mandelbrot 集在 c 處的區域性結構完全相同，但這通常不是一般有理函式的情況，只是 Julia 集的結構反映了 Mandelbrot 集的區域性結構。

為什麼會出現這種情況？當 c 在 Mandelbrot 集內部時，由 $zc_{2}$ 生成的序列不收斂於由 $zc_{1}$ 生成的序列的終點，這意味著包含 $zc_{1}$ 和 $zc_{2}$ 的兩個 Fatou 域分別不同。但當我們讓 c 跨過 Mandelbrot 集的邊界時，這兩個序列現在具有相同的終點，因此這兩個 Fatou 域變得相同。由於其中一個 Fatou 域現在已經消失，我們可以推斷 $f(z)+c$ 的 Julia 集必須以一種顯著的方式發生變化（它變得不那麼連通）。

只有當 c 接近 Mandelbrot 集的邊界時，我們才能預測有關 Julia 集的一些資訊，但是由於通常存在多個臨界點，我們可以選擇另一對並繪製一個新的 Mandelbrot 集。注意，如果我們使用兩個有限臨界點，並且如果我們將它們反轉，那麼黑色將保持不變，但顏色和邊界可能會改變：顏色由 $zc_{2}$ 中的 Fatou 域包含 c 的勢函式的值決定，而該 Fatou 域包含 $zc_{1}$。為了獲得最美觀的顏色，我們必須使用勢函式在同一個點（第二個臨界點）的值，因為 c 會發生變化。當 c 跨過 Mandelbrot 集的邊界時，一個 Fatou 域會消失，但只有當第二個臨界點離開 Fatou 域時，我們才能獲得自然的顏色和邊界。

通常的 Mandelbrot 集

對於族 $f(z)=z^{2}+c$，有兩個臨界點，0 和 ∞，因此只有一個曼德勃羅特集合。這個集合包含了這樣的點 c，即由 0 生成的序列（透過 $z^{2}+c$）保持有界。對於 c 在曼德勃羅特集合之外，該序列收斂到 ∞，我們可以根據將點帶到以原點為中心的大圓之外所需的迭代次數進行顏色編碼。如果我們只根據迭代次數進行顏色編碼，並且不繪製邊界，那麼這個圓只需要半徑為 2 即可。

對於這個族，當 c 在曼德勃羅特集合內部時，c 的朱利亞集合有兩個法圖域，而當 c 在外部時，只有一個。當 c 在曼德勃羅特集合內部時，朱利亞集合是連通的，而當 c 在外部時，朱利亞集合是不連通的（而且更甚：由於自相似性，完全不連通 - 一片塵埃雲）。對於 c 屬於邊界，朱利亞集合是連通的，但它不包含內部法圖域（這可以看作是退化的）：朱利亞集合只是一條帶有“鼻子”和“尾巴”以及連線這兩個點的“脊椎”的分形線。

通常的曼德勃羅特集合包含一個無限的心的和圓的系統，它們都相互遠離，有些彼此接觸。當我們放大時，我們會發現一群 迷你曼德勃羅特。這樣的迷你曼德勃羅特（可能變形）出現在所有複數（可微）函式的曼德勃羅特集合中，即使對於超越函式也是如此（參見超越函式的朱利亞和曼德勃羅特集合部分中的圖片）。

曼德勃羅特集合和朱利亞集合的不同型別

$(z^{2}+z^{4}/2)/(2-z^{2}/20)+c$

$(1+3z^{4})/(4z^{3})+c$

$(1-z^{2})/(z-0.01z^{2}+0.004z^{3})+c$

在所有的曼德勃羅特集合中，通常的曼德勃羅特集合擁有最美的區域性區域。其他所有曼德勃羅特集合在整體上或多或少地都很醜，特別是當函式不是多項式時。反過來，在這樣的曼德勃羅特集合中，我們可能會幸運地找到最有趣和最原始的形狀。

當我們為不同的有理函式繪製曼德勃羅特集合時，當然某些型別的形狀會重複出現，並且應該可以對這些形狀進行分類。我們無法參考這方面的任何研究，我們只能陳述最基本的差異

1. d > 1 (m > n + 1)。然後 ∞ 是一個臨界點和一個超吸引不動點，我們通常將它用作兩個臨界點中的第一個。對於 $f(z)=(z^{2}+z^{4}/2)/(2-z^{2}/20)+c$（以及臨界點 0），我們可以在曼德勃羅特集合中找到這種圖案（第一張圖片）。

2. d = 1 (m = n + 1)。在這種情況下，$f(z)$ 通常由牛頓法構造，用於求解方程 $g(z)=0$： $f(z)=z-g(z)/g'(z)$。臨界點只是 $g(z)=0$ 的解，我們選擇相互之間距離最大的兩個點。對於 $g(z)=z^{4}-1$ 因此 $f(z)=(1+3z^{4})/(4z^{3})$，我們可以在曼德勃羅集（第二張圖片）中找到這個圖案。

3. d < 1 (m < n + 1)。在這種情況下，我們通常使用兩個有限的臨界點，並且由於臨界點關於 x 軸對稱（如果 $f(z)$ 有實係數），我們讓這組點包含一對共軛複數（距離最大）。我們讓這個族為 $f(z)=(1-z^{2})/(z-0.01z^{2}+0.004z^{3})+c$，然後我們在最有趣的事情發生的地方放大（第三張圖片）。我們在邊界上選擇三個點，並繪製它們的朱莉婭集。第一個點在穿過海馬谷的細切線上。第二個點在上面的黑色區域中的一個孔裡。最後一個點假設我們將臨界點反轉，以便我們可以看到曼德勃羅集中在這個圖片上不可見的邊界的一部分。這個邊界形成向下延續，穿過中心所示的垂直線。

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     一個 Fatou 域
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     兩個 Fatou 域
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     一個 Fatou 域

引數 c

為了從有理函式 f(z) 中獲得迭代的 *族*，我們在這裡簡單地將引數 c 新增到 f(z) 中，使該族為 z → f(z) + c。這種方式是最簡單的，因為我們可以在這種方式中獲得每一個朱莉婭集，並且因為一個曼德勃羅集在區域性就像一個朱莉婭集，並且因為由 z → f(z) + c 形式的族構造的曼德勃羅集的型別在各個方面都令人滿意，所以沒有充分的理由讓 c 以更復雜的方式進入。但是，我們可以透過讓 c 以特定方式進入來找到有趣的曼德勃羅集。我們可以透過將族替換為 z → $h_{1}(c)f(z)+h_{2}(c)$ 來變換曼德勃羅集，其中 $h_{1}(z)$ 和 $h_{2}(z)$ 是某些函式，並且我們可以構建曼德勃羅集，其整體形式不同於通常的型別，方法是讓 c 出現在有理函式 f(z) 的係數中。

現在該族函式的形式為z → g(z, c)，我們假設g(z, c)關於z和c都是有理函式。現在臨界點可以依賴於c（我們將選定的兩個臨界點表示為$zc_{1}(c)$ 和 $zc_{2}(c))$），為了繪製邊界，我們必須（除了$g'(z,c)=\partial g(z,c)/\partial {z}$）計算g(z, c)關於c的導數：(d/dc)g(z, c)（= $\partial g(z,c)/\partial {c}$ - 請參見術語部分Terminology）。我們還必須計算臨界點$zc_{1}(c)$ 和 $zc_{2}(c)$ 關於c的導數：$dzc_{1}(c)/dc$。迭代公式由$z_{k+1}=g(z_{k},c)$給出（從$zc_{1}(c)$ 和 $zc_{2}(c)$ 開始），關於c的導數$z'_{k}$ 透過以下公式計算：

$z'_{k+1}=z'_{k}g'(z_{k},c)+(d/dc)g(z_{k},c)$

從$z'_{0}=dzc_{1}(c)/dc$ 和 $dzc_{2}(c)/dc$ 開始。

我們令f(z)，$h_{1}(z)$ 和 $h_{2}(z)$ 分別為 $z^{5}$，-iz 和 1，以及 $z^{2}$，i(z - 1/z)/√2 和 i(z + 1/z)/√2（下圖第一和第二張）。在最後一種情況下，四個部分在點±(√2 ± i√2)/2 處相遇，對應於屬於普通曼德布羅集的點 ±i。

現在我們假設g(z, c) 是由多項式 $f(z)=(z-1)(z^{2}-c)$ 的牛頓迭代給出的有理函式，即 $g(z,c)=z-f(z)/f'(z)=(2z^{3}-z^{2}-c)/(3z^{2}-2z-c)$。臨界點是方程g'(z, c) = 0 的解，並且由於 $g'(z,c)=f(z)f^{(2)}(z)/f'(z)^{2}$，臨界點是f(z) = 0 的根（在本例中為 1 和 ±√c）以及 $f^{(2)}(z)=0$ 的根（在本例中為 1/3）。由於作為f(z) = 0 的根的臨界點是g(z, c) 的不動點，因此用於構建曼德布羅集的第二個臨界點（即 $zc_{2}(c)$）必須是 $f^{(2)}(z)$ 的根之一。在我們的具體情況下，我們只從一個臨界點構建曼德布羅集：$zc_{1}(c)=zc_{2}(c)=1/3$，因此只繪製了曼德布羅集的邊界（第三張圖）。

我們上面已經提到過，如果 $zc_{1}$ 的終點不是 ∞，那麼它很可能是一個非超吸引的有限吸引迴圈，如果沒有，那麼畫素的顏色可能會有錯誤，但這在實踐中沒有意義。然而，在我們剛才提到的g(z, c) 來自牛頓迭代的情況中，所有 曼德布羅集之外的迭代（更確切地說，是所有 Fatou 域）都是超吸引的，因此我們必須透過在公式中引入對數來修正實際迭代次數和距離函式的公式。

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  針對 $-icz^{5}+1$ 的曼德布羅集
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  曼德博集合，對應於(i(c - 1/c)/√2)$z^{2}$ + (i(c + 1/c)/√2)
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  曼德博集合，對應於牛頓迭代的$(z-1)(z^{2}-c)$

實際繪製曼德博和朱利亞集

對於有理複函式的朱利亞集定義明確且自然，如同其他一些數學概念，我們傾向於說它屬於自然界：如果另一個世界有計算機，他們也一定會擁有朱利亞集。曼德博集的定義也很簡單明瞭，繪製過程必然是這樣的：我們以某種方式輸入兩個多項式的係數，然後自動找到一些臨界點對，或者在顯示所有臨界點的圖片上透過點選來圖形化選擇一個對。此後，曼德博集就會出現，我們可以放大和更改顏色。按下某個鍵，就可以透過箭頭移動視窗中心的點，當我們選擇一個點（通常在曼德博集的邊界上）時，朱利亞集的過程與曼德博集的過程完全相同。

當繪製一張大圖片時，你應該至少繪製兩倍於預期尺寸的圖片，然後縮小它，這樣邊界就不再是單一顏色了。這將減輕邊界通常的尖銳特徵，並去除由於不可能的計算而產生的點。