實用電子/邏輯/布林運算

布林代數（以數學家 喬治·布林 命名）是一種只處理 1 和 0 的算術形式。它只有三個運算子：加法、乘法和否定。我們將看到這些分別對應於或、與和非。

為了方便起見，有時會包含異或運算，我們將在 異或部分 中看到如何使用它。

變數用大寫字母表示，這與“真實”代數不同，在“真實”代數中可以使用小寫字母。

本頁面不涉及布林運算子的恆等式和性質，只涉及其與邏輯函式的等價關係。這些性質在 布林恆等式 頁面中討論。

負數、減法和除法

由於 1 和 0 是布林代數中唯一允許的數字，因此不存在負數。

這意味著不存在減法，因為 0-1 等於 0+(-1)。-1 不是允許的數字，因此減法的概念在布林代數中毫無意義。

由於除法只是減法的變體，就像乘法是加法的變體一樣，因此除法在布林代數中也是毫無意義的。

加法

考慮以下總和

$0+0=0\,$

$0+1=1\,$

$1+0=1\,$

$1+1=1\,$

前三個是有意義的，因為真實代數也是如此。然而，第四個語句不同，因為它違反了真實算術。布林代數不允許 2，因此它不能是答案，並且 1+1 肯定不等於 0，因此答案必須是 1。

A	B	Q
		A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

如果我們將上面的等式以表格形式顯示在左邊，很明顯布林加法運算子等效於邏輯 或。這就是邏輯或運算子使用加號作為其符號的原因

$A{\mbox{ OR }}B=A+B\,$

乘法

考慮以下等式

$0\times 0=0\,$

$0\times 1=0\,$

$1\times 0=0\,$

$1\times 1=1\,$

正如您所看到的，乘法在布林代數中的行為與在真實算術中的行為完全相同：任何乘以零的數都會變成零，任何乘以一的數都會保持不變。

您應該能夠看到乘法運算子與邏輯 與 運算子具有完全相同的效果，這就是為什麼與函式用乘法表示的原因

$A{\mbox{ AND }}B=A\cdot B=AB\,$

補碼

由於布林代數中只有兩個數字，如果我們知道一個變數的值，那麼我們也會自動知道它不是的數字的值。這個數字是該變數的補碼。因此，0 是 1 的補碼，而 1 是 0 的補碼。一個變數的補碼寫成該變數上有一條線

${\mbox{Complement of A}}={\overline {A}}$

如果變數上不能畫線，例如在這樣的文字中，則在變數之前使用“¬”符號。如果變數上可以畫線，則不應使用此符號。有時，會在變數之後放置一個“撇號”（'）符號，但決不應使用此符號。

補運算等效於邏輯非。

NOR 和 NAND

這兩個邏輯函式由它們各自的底層函式的補運算組成。

$A{\mbox{ NAND }}B={\overline {A\cdot B}}\,$

$A{\mbox{ NOR }}B={\overline {A+B}}\,$

XOR 和 XNOR

XOR 不能表示為簡單的布林函式，如加法或乘法，因此，它不受布林代數的直接支援。然而，它確實有一個符號——圓圈中的加號。

$A{\mbox{ XOR }}B=A\oplus B\,$

XNOR 函式表示為

$A{\mbox{ XNOR }}B={\overline {A\oplus B}}\,$

由於布林代數的規則和恆等式不適用於這個發明函式，因此，在編寫和簡化邏輯語句時，使用以下等效替代

$A\oplus B={\bar {A}}B+A{\bar {B}}$.

很容易理解這個替代是如何工作的。XOR 函式如果只有一個輸入為高電平，則輸出為高電平。在這種情況下，一個輸入的補運算等於另一個輸入。當輸入相同（即 XOR 函式返回低電平）時，一個輸入和另一個輸入的補運算將不同。因此，透過將第一個輸入與第二個輸入的補運算進行 AND 運算，並將第一個輸入的補運算與第二個輸入進行 AND 運算，我們始終可以在只有一個輸入為高電平時，在其中一個 AND 門的輸出處獲得一個高電平。透過將這兩個 AND 門的輸出進行 OR 運算，我們將在只有當一個輸入為高電平而另一個輸入為低電平時，在最終輸出處獲得一個高電平。

這使用了此處所示的替代閘電路佈置之一。

XNOR 可以代換為

${\overline {A\oplus B}}={\overline {{\bar {A}}B+A{\bar {B}}}}$.

摘要

• 布林加法等效於邏輯或。
• 布林乘法等效於邏輯與。
• 布林補運算等效於邏輯非。

• XOR 擁有自己的特殊符號，因為它沒有直接包含在布林代數的框架中。