兩年制學院代數預備課程/附錄（程式）/長除法除以整數

乘法

乘法用星號 (*)、 $\times$ 或 $\cdot$ 符號表示。但是，X 符號通常不用於代數，而是僅限於非常基本的初等數學，因為它很容易與“x”變數混淆。通用的乘法運算子將接受任何兩個數字作為運算元，稱為因子。結果稱為這兩個數字的乘積。如果乘數不都是用數字表示，則可以省略乘號。因此，以下示例表示式是等效的

$3*\!(a*b)=3\times \!(a\times b)=3\!\cdot \!(a\!\cdot \!b)=3\!\cdot \!(ab)=3(a\!\cdot \!b)=3(ab)=3ab$

乘法是重複加法的形式。例如 $3\times 5$ 表示

$3+3+3+3+3\quad \operatorname {or} \quad 5+5+5$

乘法也是可交換的。這意味著兩個數字（因子）的乘法將給出相同的乘積，無論數字相乘的順序如何。

指數為大於 1 的整數的數字表示要相乘的因子的數量，因此該數字本身相乘的次數與指數所示次數一樣多。指數為 1 的數字只有一個因子，因此等於該數字。任何指數為 0 的數字都沒有因子，結果為 1。例子

$5^{3}=5\times 5\times 5\qquad \qquad 5^{1}=5\qquad \qquad 5^{0}=1$

長乘法

長乘法是大於 12 的數字的乘法，但通常只使用 1 到 9 的事實。在嘗試長乘法之前，請確保您知道 1 到 9 的事實。其他的是可選的，但可以讓長除法更容易一些。垂直乘法方法的步驟是

1. 寫下數字。

  52
  19
 ------

2. 9 乘以 2。如果答案有十位數，則進位。9 乘以 5，加上進位，然後寫下數字。您應該有

  1
  52
  19
------
 468

3. 1 乘以 2，1 乘以 5，如果需要則進位，但這次將答案向左移動一個空格。如果需要，您可以在 8 下方放一個零。您現在應該有

  52
  19
------
 468
 520

4. 現在加起來。

 52
 19
-----
468
520
-----
988

如果您要乘以小數，則在沒有小數點的情況下乘以。計算兩個數字中所有的小數位數，然後將小數位數相加。在答案中，計算要向左移動的空格數。將小數點放在那裡。

5. 在總結中

寫下問題，垂直寫。將第二個數字的最後一位乘以第一個數字的最後一位。如果答案中有十位數，則進位。將它乘以倒數第二位數，然後加上進位。對第二個數字的倒數第二位數重複此過程，但在您之前得到的數字下方的行末尾加上一個 0，如果第三行加上 2 個 0，然後重複直到問題完成。

快速乘法

快速乘法是一種方法，您可以透過“10”的方法簡單地乘以大於 10 且合理小於 1000 的數字。這可以透過識別數字中有多少位數來實現。以下是一些對快速乘法有用的步驟

1. 看看您是否可以在末尾識別出任何零，並將它們簡單地“新增到”您的答案中。

  45,300 x 5
  The easy way to do this is "taking away" the 2 zeros for now and reserving them for later.
  
  the number is now 453 x 5, which is much too mind boggling to do. 
  Now here comes the interesting part of the method
  of "10's"

2. 將數字分解成其“10”部分

  What this means is basically breakup the number by its place value.

  453 = 4 (hundreds place) + 5 (tens place) + 3 (ones place)

  Knowing that, this become 400, 50 and 3.

3. 乘以並應用“10”部分

  okay now simply multiply:

  So, here is a step where we essentially take out the "0's" out for a bit and put it back
  in when were done.

  so, its now 5 x 400. in order to make it easier, "take out" the zeroes for now and 
  multiply 4 x 5 = 20. Now
  heres the magic. Since you magically took away the 2 zeroes, you will now suddenly make
  the 2 zeroes reappear!
  20 + "00" = 2000! AMAZING! (the quotes means they're magic zeroes, and simply not the value 
  of zero!)

  50 is done the same away. Take away the "0" and multiply 5 x 5 = 25. Now add it back, 25 +
  "0" = 250

  Simply 3 x 5 = 15

4. 現在來點魔術，把它們加在一起！

5. 現在從一開始（從原始的 45,300 中）保留兩個零，並將它們附加到末尾以獲得您的答案：226,500。

步驟 2：乘以不為零的數字

  2102 x 52

使用之前的步驟，識別出

2102 = 2 (thousand) + 1(hundred) + 0 (tens) + 2 (ones)
  52 = 5 (tens) + 2 (ones)

Now, to make it easier on yourself, circle the number 2 of "52" and put it in your magic 
hat. (2)

Now the problem becomes 2102 x 50. Look familiar? First of all, take out the magic "0" and 
put it in the hat, too.
Since we recognized that 50 is basically 5 with an added magical "0" to it, we now see the 
problem as

2102 x 5!

Now break down the bigger, uglier number and start multiplying:
2000 x 5 (take away the magic zeroes) = 2 x 5 = 10 + "000"(now put them back!) = 10,000 (notice it has 4 zeroes)
 100 x 5 (take away the magic zeroes) = 1 x 5 = 5 + "00"  (now put them back!) =   500 (2 zeroes)
   2 x 5  (sadly, no magical zeroes)  = 2 x 5 = 10                             =    10 (1 zero)

 Remember, after every step, be sure to put your friendly magical "0" back in:
 10,000 + "0" =100,000  
    500 + "0" =  5,000
     10 + "0" =    100
   (notice how the number of zeroes on the left side equal the number of zeroes on the right
   side)

Now add them all together:

 100000
   5000
    100
 -----
 105100....... That's not all yet folks! Do you remember the 2 in your magic hat? Lets get it to work:

  2 x 2102 = 
      2000 x 2 = 2 x 2 = 4 = 4000
       100 x 2 = 1 x 2 = 2 =  200
         2 x 2             =    4
                     total:  4204

  So the answer should be
   105,100
     4,204
   -------
   109,304! Wow!

練習

答案

除法

除法使用 ÷ 符號。它也可以用斜線 / 、: 或分數線來表示。通用的除法運算子可以接受任何兩個數字作為運算元。÷ 符號前面的數字稱為被除數，÷ 符號後面的數字稱為除數。結果稱為兩個數字的商。

除法不是交換運算。交換被除數和除數可能會得到不同的商 (但有時不會)。除數為 0 的除法沒有定義。它沒有答案。

示例

$4/2=2$ 和 $2/4=0.5$

長除法

在算術中，長除法是用於除法兩個實數的演算法。它只需要寫下數字的方法，即使對於大型被除數也很容易執行，因為演算法將一個複雜的除法問題分解成更小的問題。然而，該過程需要用除數除以各種數字：這對於一位數除數來說很簡單，但對於更大的除數來說會變得更難。

該方法的更廣義版本用於除以多項式（有時使用稱為綜合除法的速記版本）。

在長除法符號中，500 ÷ 4 = 125 表示如下

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\\end{matrix}}

該方法包含以下幾個步驟

1. 將被除數和除數寫成這種形式

4{\overline {)500}}

在本例中，500 是被除數，4 是除數。

2. 考慮被除數的最左邊的數字 (5)。找到小於最左邊數字的除數的最大倍數：換句話說，在腦海中執行“5 除以 4”。如果該數字太小，請考慮前兩位數字。

在本例中，小於 5 的 4 的最大倍數是 4。將該數字寫在被除數的最左邊數字下方。將倍數除以除數 (4 除以 4 = 1) 寫在被除數最左邊數字上方的線上。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\4\end{matrix}}

3. 將被除數下方的數字從被除數中使用的數字中減去。將結果（餘數）（5 − 4 = 1）寫在底部數字下方，然後將右側的零（第二個數字）向下移。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\end{matrix}}

4. 重複步驟 2 和 3，只是使用您剛剛建立的數字進行除法，並在第二個數字上方和下方寫入。

{\begin{matrix}\,\,12\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\end{matrix}}

5. 重複步驟 4，直到被除數中沒有剩餘數字。寫在橫線上的數字是商，最後一個計算出的餘數是整個問題的餘數。

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\quad \;\,{\underline {20}}\\\qquad 0\end{matrix}}

七年級數學和七年級英語

長除法

es

答案