2.4: 實數的性質
我們已經在第 1 章 中討論過不同型別的數字。但是，在本節中，我們將使用更復雜的語言來指代它們，並看看它們各自的獨特性質。
在數學中，許多不同型別的數字都有名稱，你已經遇到過很多這些型別，而且其中一些型別包含了其他的型別。例如，我們可以從整數開始，例如 0、1、2、3 等。使用減法，我們可以透過從一個較大的數字中減去一個較小的數字來構建負數，從而得到集合 {... -3、-2、-1、0} 中的答案。
使用除法，我們可以透過將一個較小的數字除以一個較大的數字來識別 0 和 1 之間的分數，例如 {1/2、2/3、3/4、...} 或 {-1/-2、-2/-3、-3/-4、....}。我們也可以透過將一個負數除以一個正數或一個正數除以一個負數來識別 -1 和 0 之間的負分數 {-1/2、-2/3、-3/4、...} 或 {1/-2、2/-3、3/-4、...}。每個整數都可以寫成分數，例如 2 = 2 1 {\displaystyle \textstyle 2={\frac {2}{1}}}
有理數是稱為實數的數字的一個子集。一些計算器允許你透過將有理數表示成分數來區分有理數和實數。如果你使用小數表示法，有理數中的小數可能永遠持續下去，例如 1 3 = 0.333 … {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{3}}=0.333\ldots } 2 = 1.41421356237 … {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.41421356237\ldots }
我們從回顧算術的基本性質開始。給下面列出的幾個性質如此重視，這可能看起來不尋常，但有一個很好的理由。粗略地說，所有的代數都遵循下面表格中列出的 5 個性質 。在下表中，a 、b 和 c 可以是任何數字，除非另有說明。所以讓我們來看看
性質名稱
加法
減法
乘法
除法
交換律
a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 不成立 a − b ≠ b − a {\displaystyle a-b\neq b-a} a + ( − b ) = ( − b ) + a {\displaystyle a+(-b)=(-b)+a}
a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} 不成立 a / b ≠ b / a {\displaystyle a/b\neq b/a} a ∗ 1 / b = 1 / b ∗ a {\displaystyle a*1/b=1/b*a}
交換律
( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 不成立 ( a − b ) − c ≠ a − ( b − c ) {\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)} ( a − b ) − c = a − ( b + c ) = a + ( − b − c ) {\displaystyle (a-b)-c=a-(b+c)=a+(-b-c)}
( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 不成立 ( a / b ) / c ≠ a / ( b / c ) {\displaystyle (a/b)/c\neq a/(b/c)} ( a / b ) / c = a ∗ 1 / b ∗ 1 / c = a / b ∗ c {\displaystyle (a/b)/c=a*1/b*1/c=a/b*c}
單位元
a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} a − 0 = a {\displaystyle a-0=a} a ∗ 1 = a {\displaystyle a*1=a} a / 1 = a {\displaystyle a/1=a}
逆元
a + − a = 0 {\displaystyle a+-a=0} a − a = 0 {\displaystyle a-a=0} a ∗ ( 1 / a ) = 1 {\displaystyle a*(1/a)=1} a / a = 1 {\displaystyle a/a=1}
分配律
a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} a ∗ ( b − c ) = a ∗ b − a ∗ c {\displaystyle a*(b-c)=a*b-a*c} a ∗ ( b + c ) = a ∗ b + a ∗ c {\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c} ( a + b ) / c = a / c + b / c {\displaystyle (a+b)/c=a/c+b/c} a / ( b + c ) ≠ a / b + a / c {\displaystyle a/(b+c)\neq a/b+a/c}
交換律 是指你可以交換兩個數字，仍然得到相同的答案。結合律 是指你可以改變分組（即改變括號的位置），仍然得到相同的答案。單位元律 是指存在一個特定的數字，當它與另一個數字運算時，不會改變另一個數字。逆元律 是指運算結果為單位元的結果。分配律 是指你可以將運算進行分配。在所有這些性質中，分配律可能是你最常用的，因為它是在同一個時間提到加法和乘法的唯一性質。舉個例子：這些性質甚至暗示了一些基本的東西，比如："乘法是重複的加法"。這本書不會證明很多東西，但看看它是如何運作的是有幫助的。
我們用 a = 7，b = 1 和 c = 1 應用分配律。
7 · 1 + 7 · 1 = 7 + 7 雖然這可能看起來很明顯，但這是上面列出的乘法單位元律 。現在讓我們嘗試對 7 · 3 做同樣的事情。
7 · 3 = 7 · (1 + 1 + 1) 就像之前一樣，這僅僅是 3 = 1 + 1 + 1 以及代入的結果。
7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 我們再次應用分配律。注意，我們可以將其應用於括號中包含兩個以上數字相加的表示式。證明如下。雖然 7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 不僅由分配律涵蓋，但這個問題可以透過將最後兩個 1 用括號分組來解決。與其寫成 7 · (1 + 1 + 1) ，我們可以寫成 7 · (1 + (1 + 1)) ，然後將分配律用於 a = 7，b = 1 和 c = (1 + 1)。然後：7 · (1 + (1 + 1)) = 7 · 1 + 7 · (1 + 1) 。現在我們將分配律僅應用於第二項（取 a = 7，b = 1 和 c = 1 ）。然後（只看第二項）我們有 7 · (1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 。最後，我們可以將此表示式代入第二項，回到方程中，得到：7 · (1 + 1 + 1) = 7 · 1 + 7 · 1 + 7 · 1 。
這看起來像是無意識的括號處理，但重點是分配律適用於任意長的求和和乘積。這也是真的
a · (b + c + d + e ) = a · b + a · c + a · d + a · e 或者我們可以讓它更長！我們可以讓求和中的項數任意多；只要 "a · " 出現在等式右邊每項的前面，我們就會得到一個正確的語句。我們將使用這個事實，但不加證明（即沒有證明）。讓我們提醒自己，這些性質告訴我們關於算術的什麼。交換律和結合律一起意味著我們加起來東西的順序並不重要。讓我們看看為什麼。結合律說 a + (b + c ) = (a + b ) + c a + b + c 的語句。為什麼？因為通常加法只定義在兩個東西之間，所以當有人寫下類似 a + b + c b 和 c 加起來，然後再把 a 加進去，而其他人可能先把 a 和 b 加起來，然後再把 c 加進去。這個性質說（使用公式），無論你以哪種方式做，結果都一樣。那麼那些先把 a 和 c 加起來的人呢？嗯，這就是交換律發揮作用的地方。它告訴我們，我們不需要按照人們寫下東西的順序來進行加法。你可以交換東西，仍然得到相同的答案。讓我們再舉一個使用這些性質來 "處理括號" 的例子，看看交換律如何表明你實際上可以先把 a 和 c 加起來，得到相同的答案。
b + c = c + b 這是加法的交換律應用於 b + c
a + (b + c ) = a + (c + b )這是代入的結果
a + (b + c ) = (a + c ) + b 這只是在上面行的右邊使用結合律。
交換律和結合律告訴你，我們加起來 a + b + c
乘法的相同性質告訴我們，我們乘起來東西的順序並不重要。我們可以隨意更改順序，以找到最簡單的順序。它真的會讓事情變得更容易嗎？當然！例如，如果你被要求計算 4 · 3 · 5 · (1/4)，那麼我個人認為計算 4 · (1/4) · 3 · 5 會更容易。
單位元律 和逆元律 真正地捕捉到 "加法和減法是相反的" 和 "乘法和除法是相反的，只要我們不是用零相乘" 的含義。我們將把這個問題留給感興趣的讀者作為練習，讓他們思考為什麼是這樣。
你可以經常使用分配律來簡化表示式。這是它如此重要的原因之一。例如，考慮表示式 2(x − 7) + 14 。如果我們對這個表示式中的第一項使用分配律會發生什麼？讓我們來算一下。根據分配律
2(x − 7) = 2x − 2 · 7 = 2x − 14 將此代入上面的表示式，我們得到 2(x − 7) + 14 = 2x − 14 + 14 = 2x 。顯然 2x 比 2(x − 7) + 14 更容易計算！
除法不滿足交換律。這意味著通常 a ÷ b 不等於 b ÷ a，可以用簡單的例子來證明。
1 2 ≠ 2 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\neq {\frac {2}{1}}}
雖然除法本身不滿足交換律，但存在 兩種特殊情況，如果顛倒操作順序，答案（商）相同。這些情況發生在答案（商）為 1 或答案為 -1 時
a ÷ b = b ÷ a ⟺ (rewrite as fractions) {\displaystyle a\div b=b\div a\iff {\mbox{(rewrite as fractions)}}}
a b = b a ⟺ (multiply both sides by a b ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a}}\iff {\mbox{(multiply both sides by}}\ ab)}
a 2 = b 2 ⟺ (take both square roots) {\displaystyle a^{2}=b^{2}\iff {\mbox{(take both square roots)}}}
a = b 2 or a = − b 2 {\displaystyle a={\sqrt {b^{2}}}\quad {\mbox{ or }}\quad a=-{\sqrt {b^{2}}}}
a = b or a = − b {\displaystyle a=b\quad {\mbox{ or }}\quad a=-b}
a ÷ b = 1 or a ÷ b = − 1 {\displaystyle a\div b=1\quad {\mbox{ or }}\quad a\div b=-1}
代數中有一些基本定律。理解這些定律將有助於你操作和解方程，以及理解代數關係。
一般來說，專案的順序可以改變，而不會影響結果。
對於加法， A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A}
對於乘法， X Y = Y X {\displaystyle XY=YX}
請注意，交換律不適用於減法或除法。
一般來說，專案的組合可以改變，而不會影響結果。（似乎是交換律的擴充套件）。
對於加法， A + ( B + C ) = ( A + B ) + C {\displaystyle A+(B+C)=(A+B)+C}
對於乘法， X ( Y Z ) = ( X Y ) Z {\displaystyle X(YZ)=(XY)Z}
與交換律一樣，結合律不適用於減法或除法。
表示可以提取公因子，或分配因子。(A + B) X = (A X) + (B X) （右側的“X”項合併為左側的因子；左側的因子“X”分配到右側）。
考慮將X = (Y + Z) 代入上述方程，得到 (A + B) (Y + Z) = A (Y + Z) + B (Y + Z) 。對右側的每一項應用分配律得到A Y + A Z + B Y + B Z 。如果我們將以下表達式中用“F O I L”標識的項相乘，我們可以跳過中間步驟(A + B) (Y + Z) =
字母
描述
術語
F
首項
A Y +
O
外項
A Z +
I
內項
B Y +
L
末項
B Z
對於加法和減法 ，恆等律表明，對給定項或數量進行加法和 減法運算，結果為零，0，即加法和減法的單位元。或者，新增單位元不會改變原始值或數量。
A − A = 0 {\displaystyle A-A=0}
將 A 加到第一個方程的兩邊，我們得到(A - A) + A = 0 + A 。重新排列或代入得到0 + A = A
注意特殊情況，其中A = A + 0 = A + 0 + 0 對於乘法和除法 ，恆等律表明，對給定項或數量進行乘法和 除法運算，結果為“一”，1，即乘法和除法的單位元。或者，乘以或除以單位元不會改變原始值或數量。
1 = Y Y {\displaystyle 1={\frac {Y}{Y}}} 1 = ( Y 1 ) ( 1 Y ) {\displaystyle 1=({\frac {Y}{1}})({\frac {1}{Y}})}
請注意，將 1 除以一項或一個量得到該項或量的倒數。乘以倒數與除以該項或量相同。在上面的右側方程中，(Y / 1) 和 (1 / Y) 互為倒數。
注意特殊情況，其中 1 = 1 1 {\displaystyle 1={\frac {1}{1}}} 1 ( 1 ) = ( 1 ) ( 1 1 ) {\displaystyle 1(1)=(1)({\frac {1}{1}})} 1 ( 1 ) 1 = ( 1 ) ( 1 1 ) = {\displaystyle {\frac {1(1)}{1}}=(1)({\frac {1}{1}})=}
透過將第一個特殊情況方程代入，簡化得到 1 = 1 ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)} 1 = 1 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle 1=1(1)(1)} ... 透過將第一個方程的兩邊乘以“Y” ，我們得到 ( Y ) ( 1 ) = ( Y ) ( Y Y ) {\displaystyle (Y)(1)=(Y)({\frac {Y}{Y}})} （Y）=（1）Y。
問題 2.54 （確定實數的性質）反例 。
a . A n i n t e g e r i s a w h o l e n u m b e r . {\displaystyle a.\ An\ integer\ is\ a\ whole\ number.} b . I f a n u m b e r i s w h o l e i t i s a n a t u r a l n u m b e r . {\displaystyle b.\ If\ a\ number\ is\ whole\ it\ is\ a\ natural\ number.} c . I f a n u m b e r c o n t a i n s a d e c i m a l i t i s a n i n t e g e r . {\displaystyle c.\ If\ a\ number\ contains\ a\ decimal\ it\ is\ an\ integer.} d . I f a n u m b e r i s n a u t u r a l , t h e n i t i s a r e a l n u m b e r . {\displaystyle d.\ If\ a\ number\ is\ nautural,\ then\ it\ is\ a\ real\ number.} e . T h e p r o d u c t o f t w o i r r a t i o n a l n u m b e r s i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r . {\displaystyle e.\ The\ product\ of\ two\ irrational\ numbers\ is\ an\ irrational\ number.}
問題 52 可能的答案
a. 有時成立。數字
-1 是整數，但它不是自然數。
b. 有時成立。數字0 是自然數，但它不是自然數。c. 從不成立。整數包括所有負數和不是分數的自然數。d. 總是成立。實數集部分由自然陣列成。
e. 有時成立。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘積等於1。
a. 有時成立。數字
-1 是整數，但它不是自然數。
b. 有時成立。數字0 是自然數，但它不是自然數。c. 從不成立。整數包括所有負數和不是分數的自然數。d. 總是成立。實數集部分由自然陣列成。
e. 有時成立。
2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} 的乘積等於1。
問題 2.55 （識別實數的性質）
a . 4 ( 3 x + 4 ) = 12 x + 16 {\displaystyle a.\ 4(3x+4)=12x+16} b . 6 + 0 = 6 {\displaystyle b.\ 6+0=6} c . ( 2 + 7 ) + 5 = ( 2 + 5 ) + 7 {\displaystyle c.\ (2+7)+5=(2+5)+7} d . ( 3 / 4 ) ( 4 / 3 ) = 1 {\displaystyle d.\ (3/4)(4/3)=1} e . T o d i v i d e 3072 b y 512 , y o u c a n d i v i d e 3072 b y 16 , a g a i n b y 8 , a n d a g a i n b y 4. {\displaystyle e.\ To\ divide\ 3072\ by\ 512,\ you\ can\ divide\ 3072\ by\ 16,\ again\ by\ 8,\ and\ again\ by\ 4.}
第 53 題答案
a. 分配律
b. 加法恆等律
e. 乘法結合律
a. 分配律
b. 加法恆等律
e. 乘法結合律
問題 2.56 （乘積模式）
2 ∗ 2 = 1 ∗ 4 {\displaystyle 2*2=1*4}
4 ∗ 3 = 2 ∗ 6 {\displaystyle 4*3=2*6}
6 ∗ 4 = 3 ∗ 8 {\displaystyle 6*4=3*8}
8 ∗ 5 = 4 ∗ 10 {\displaystyle 8*5=4*10}
10 ∗ 6 = 5 ∗ 12 {\displaystyle 10*6=5*12}
12 ∗ 7 = 6 ∗ 14 {\displaystyle 12*7=6*14}
14 ∗ 8 = 7 ∗ 16 {\displaystyle 14*8=7*16}
問題 2.57 （高斯技巧）
問題 2.58 （操縱高斯技巧）問題 2.55 中使用的技巧來找到多個數字的總和。你能找到以下內容嗎？
a. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 201 {\displaystyle 1+2+3+4+...+201} b. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 200 {\displaystyle 2+4+6+8+...+200} c. 101 + 102 + 103 + . . . + 998 + 999 + 1000 {\displaystyle 101+102+103+...+998+999+1000} d. 9 + 12 + 15 + . . . + 54 + 57 + 60 {\displaystyle 9+12+15+...+54+57+60}
問題 2.59 （數字的倒數）加法逆元 相加，你將得到零。同樣地，乘法逆元性質指出，如果你將一個數字與其倒數，即其乘法逆元 相乘，你將得到一。找到以下數字的加法和乘法逆元。
a . − 6 {\displaystyle a.\ -6} b . 4 2 3 {\displaystyle b.\ 4{\frac {2}{3}}} c . − 0.33 {\displaystyle c.\ -0.33} d . 2 + 5 {\displaystyle d.\ 2+{\sqrt {5}}}
問題 2.60 （使用分配律）
a . 2 ( 14 x − 26 ) {\displaystyle a.\ 2(14x-26)} b . ( 2 / 3 ) ( 3 x + 9 ) {\displaystyle b.\ (2/3)(3x+9)} c . 3 ( 12 x + 4 y ) {\displaystyle c.\ 3(12x+4y)} d . 2 ( 5 x − 6 ) + 3 ( 3 x + 2 ) {\displaystyle d.\ 2(5x-6)+3(3x+2)} e . ( 4 x + 7 ) ( 2 x − 3 ) {\displaystyle e.\ (4x+7)(2x-3)} f . ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f.\ (x+1)(x+2)(x+3)}
問題 2.61 （包含三個項的分配律）
( 5 x + 2 y − 4 ) ( 2 x + 7 y + 3 ) {\displaystyle (5x+2y-4)(2x+7y+3)}
問題 2.62 （改寫表示式）
2013 ∗ 2014 − 2013 ∗ 1992 2014 − 1992 {\displaystyle {\frac {2013*2014-2013*1992}{2014-1992}}}
問題 2.63 （乘法和分配律）
問題 2.64 （和/差的平方） a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
a . ( a + b ) 2 {\displaystyle a.\ (a+b)^{2}} b . ( a − b ) 2 {\displaystyle b.\ (a-b)^{2}}
問題 2.65 (棘手的乘積)
a . ( 101 ) 2 {\displaystyle a.\ (101)^{2}} b . ( 95 ) 2 {\displaystyle b.\ (95)^{2}} c . ( 998 ) ( 999 ) {\displaystyle c.\ (998)(999)} d . ( 63 ) ( 57 ) {\displaystyle d.\ (63)(57)} e . ( 71 ) 2 {\displaystyle e.\ (71)^{2}}
問題 63 的答案
a. 10201
b. 9025
e. 5041
a. 10201
b. 9025
e. 5041
問題 2.66 (1001 的秘密)
問題 2.67 (ABCD) a − d {\displaystyle a-d} b + c {\displaystyle b+c}
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
問題 64 的解答
從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上重寫為以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交換律，該表示式可以重寫為
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，可以進一步寫成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 從以下開始
a b − c d + a c − b d {\displaystyle ab-cd+ac-bd}
將以上重寫為以下形式
a b + ( − c d ) + a c + ( − b d ) {\displaystyle ab+(-cd)+ac+(-bd)}
利用加法交換律，該表示式可以重寫為
a b + a c + ( − c d ) + ( − b d ) {\displaystyle ab+ac+(-cd)+(-bd)} a ( b + c ) − d ( c + b ) {\displaystyle a(b+c)-d(c+b)} a ( b + c ) − d ( b + c ) {\displaystyle a(b+c)-d(b+c)}
利用分配律，可以進一步寫成
( a − d ) ( b + c ) {\displaystyle (a-d)(b+c)} 問題 2.68 (實數的稠密性)實數的稠密性 指出在任意兩個實數之間，都存在另一個實數。利用這個性質證明在 0 和 1 之間存在無限多個實數。
問題 60 的解答
讓我們在 0 和 1 之間選擇一個數，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後，我們可以選擇 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及在
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續下去，我們仍然會始終找到我們選擇的任意兩個數之間的數。因此，在 0 和 1 之間存在無限多個實數。
讓我們在 0 和 1 之間選擇一個數，在本例中是
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。然後，我們可以選擇 0 和
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 之間的數，
1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，以及在
1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 和 1 之間的數，
3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} 。我們可以繼續下去，我們仍然會始終找到我們選擇的任意兩個數之間的數。因此，在 0 和 1 之間存在無限多個實數。
閉包 是為一組實數和一個運算定義的性質。 這篇維基百科文章 對閉包性質進行了描述，並列舉了來自數學各個領域的例子。 作為一名代數學生，瞭解閉包性質可以幫助你解決問題。 例如，一個問題可能陳述“兩個整數的和為 24”。 透過練習，你會發現可能的數字集合要麼都是奇數（例如 (1,23),(3,21), ...等等），要麼都是偶數（例如 (2,22), (4,20), ...等等）。 問題可能不會明確說明整數的概念。 它可能說明正方形的兩條邊之和為 24。 如果你記得之前做過類似的題目，你就會知道正方形的邊長必須相等，所以你需要除以 2。 問題作者可能會更狡猾一點，說等邊三角形的兩條邊之和為 24，然後讓你求三角形的周長。 在這種情況下，你可能需要寫下等式 3 x = p {\displaystyle 3x=p}
問題 2.69 （運算的閉包）
加法
減法
乘法
除法
冪運算
根運算
ℕ
𝕎
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
問題 2.70 （集合的閉包） { a , b , c , d , e } {\displaystyle \{a,b,c,d,e\}}
*
a
b
c
d
e
a b
c
e
a
d
b d
a
c
b
e
c c
d
b
e
a
d a
e
d
c
b
e e
b
a
d
c
該集合在乘法下閉合嗎？
實數 a {\displaystyle a} 絕對值 （或模數 ）用 | a | {\displaystyle |a|} 始終為非負數 。 例如，左邊的圖示顯示了以下內容
| − 5 | = 5 | 3 | = 3 {\displaystyle |-5|=5\ |3|=3} -5 的絕對值為 5，因為它離零 5 個單位，3 的絕對值為 3，因為它離零 3 個單位。 正數或零的絕對值始終是它本身。 相反，負數的絕對值是它的相反數。
同樣地，數軸上兩個數字之間的距離可以看作它們之間的差的絕對值。
問題 2.71 （數字排序 I）
2.1 , − 4 , 1 2 , π , 3.99 , − 3 4 , − 0.25 , π 3 {\displaystyle 2.1,-4,\ {\frac {1}{2}},\ \pi ,\ 3.99,\ -{\frac {3}{4}},\ -0.25,\ {\frac {\pi }{3}}} 問題 69 的答案
a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} a . − 4 , − 3 4 , − 1 2 , − 0.25 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 {\displaystyle a.\ -4,-{\frac {3}{4}},-{\frac {1}{2}},-0.25,{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99} b . 3.99 , π , 2.1 , π 3 , − 0.25 , − 1 2 , − 3 4 , − 4 {\displaystyle b.\ 3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},-0.25,-{\frac {1}{2}},-{\frac {3}{4}},-4} 問題 2.72 （數字排序 II）問題 2.68 中數字的絕對值按順序排列： (a) 從最小到最大 (b) 從最大到最小。
問題 70 的答案
a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} a . 0.25 , 1 2 , 3 4 , π 3 , 2.1 , π , 3.99 , 4 {\displaystyle a.\ 0.25,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {\pi }{3}},2.1,\pi ,3.99,4} b . 4 , 3.99 , π , 2.1 , π 3 , 3 4 , 1 2 , 0.25 {\displaystyle b.\ 4,3.99,\pi ,2.1,{\frac {\pi }{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{2}},0.25} 問題 2.73 （絕對值表示式）
a . | − 88 | {\displaystyle a.\ |-88|} b . | 3 − 16 | {\displaystyle b.\ |3-16|} c . | − 14 | + | 3 | {\displaystyle c.\ |-14|+|3|} d . | | − 5 | − 3 | {\displaystyle d.\ ||-5|-3|} e . | 1 − 3 | + | 2 − 2 | − | 3 − 2 | {\displaystyle e.\ |1-{\sqrt {3}}|+|2-{\sqrt {2}}|-|{\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}|}
f . 3 − 2 | 2 − 10 | + 11 {\displaystyle f.\ 3-2|2-10|+11} g . | − ( − 5 ) | − | 3 | − 3 {\displaystyle g.\ {\frac {|-(-5)|-|3|}{-3}}} h . 2 | 3 ∗ 2 2 − 1 | − 10 | − 2 | 6 {\displaystyle h.\ {\frac {2|3*2^{2}-1|-10|-2|}{6}}} i . ( 5 − 6 ) 2 − 2 | 3 − 7 | 89 − 3 ∗ 5 2 {\displaystyle i.\ {\frac {(5-6)^{2}-2|3-7|}{89-3*5^{2}}}}
解答問題71
a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} a. 88
b. 13 − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
i.
− 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} 問題2.74 (絕對值比率) x < 0. {\displaystyle x<0.}
| x | x {\displaystyle {\frac {|x|}{x}}} 問題2.75 (值域 I) 24 < x < 39 {\displaystyle 24<x<39}
| x − 24 | + | x − 39 | {\displaystyle |x-24|+|x-39|} 問題2.76 (值域 II) − 12 ≤ x < 12 {\displaystyle -12\leq x<12}
| x − 14 | + | x − 12 | + | x + 12 | + | x + 14 | {\displaystyle |x-14|+|x-12|+|x+12|+|x+14|} 問題 2.77 （值域 III） − 19 ≤ x ≤ y ≤ 4 {\displaystyle -19\leq x\leq y\leq 4}
| x + 19 | + | x − y | + | y − 4 | {\displaystyle |x+19|+|x-y|+|y-4|} 問題 2.78 （最小可能絕對值）n 是一個整數，那麼以下表達式的最小可能值為多少？
| 123 − 5 n | {\displaystyle |123-5n|} 問題 2.79 （三角形不等式）
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} a. 使用此關係確定邊長分別為 6、9 和 14 的三角形是否存在。b. 使用此關係確定邊長分別為 5、10 和 15 的三角形是否存在。c. 除了幾何應用之外，上述不等式還表明，兩個數 a 和 b 的和的絕對值小於或等於 a 的絕對值和 b 的絕對值的和。證明這種關係是正確的。
我們將在代數的大部分時間裡使用的所有數字都稱為實數。它們包括有理數和無理數。無理數是指小數點後無限不迴圈的小數，例如圓周率。有理數是指所有可以表示為整數的比率的數字，包括自然數、整數、整數和有理數。對於所有實數，加法和乘法都有幾個性質：交換律、結合律、恆等律、逆律和分配律。分配律在課程的剩餘部分將會非常有用。
