兩年制學院預備代數/附錄（程式）/指數

指數

指數或“冪”是重複乘法的過程，就像乘法是重複加法的過程一樣。

指數通常寫成$a^{b}$ 的形式，其中 $a$ 是底數，$b$ 是指數。在上下文中，上標不可用，例如在計算機的許多上下文中，$a^{b}$ 通常寫成“a^b”，或者不太常見地寫成“a**b”。如果你不熟悉代數，你可以想象字母 a 和 b 代表數字。我們讀$a^{b}$ 為a 的 b 次方，a 的 b 次冪或a 指數 b。

整數指數

當指數為正整數時，它只是將底數自身乘以一定次數的簡單情況。例如，

$3^{4}=3*3*3*3=81\,$

這裡，3 是底數，4 是指數（寫成上標），而 81 是 3 乘以 4 次冪。注意，因為指數是 4，所以底數 3 在重複乘法中出現了 4 次。

更多示例

${\begin{matrix}12^{2}=12\times 12=144\\2^{8}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256\\1^{5}=1\times 1\times 1\times 1\times 1=1\end{matrix}}$

指數相乘

如果你有兩個或多個底數相同的指數，那麼將它們相乘的效果與將它們的指數相加相同。

例如$(a^{b})*(a^{c})\,$ 與 $a^{b+c}\,$ 相同。例如，

$(3^{4})*(3^{2})=(3*3*3*3)*(3*3)=(3*3*3*3*3*3)=(3^{6})=(3^{4+2})\,$

除法指數

如果兩個或多個指數具有相同的底數，則除法它們的效果與減去它們的指數相同。

例如 $(a^{b})/(a^{c})\,$ 與 $a^{b-c}\,$ 相同。例如，

$(3^{6})/(3^{2})=(3*3*3*3*3*3)/(3*3)=(3*3*3*3)=(3^{4})=(3^{6-2})\,$

練習

1. 什麼是 $4^{3}\,$, $3^{4}\,$, $1^{250}\,$, ${250}^{1}\,$
2. 將這些數字寫成 2 的冪：$128,8,1024\,$
3. 什麼是 $(2^{3})*(2^{2})\,$
4. 什麼是 $(2^{6})/(2^{2})\,$
5. 更難：為什麼 $3^{0}=1\,$ （提示：考慮 ${3^{2}}/{3^{2}}\,$，例如）

點選這裡檢視 答案。

負指數

負指數的運算方式略有不同。假設您想計算 $3^{-2}$。為此，您可以取 $1/3^{2}$ 來得到答案。我們首先計算指數，參見 運算順序

$3^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{9}}$

指數運算不滿足交換律。您可以自己試一下！嘗試計算 2³，然後看看它是否等於 3² (答案在這裡)。分配律和結合律也不適用。

然而，指數運算有自己的一套公理，它們始終遵循。與前面的例子一致，我們可以概括地說明

$(a^{b})\times (a^{c})=a^{b+c}\,\,\,\,$ 以及

$(a^{b})/(a^{c})=a^{b-c}\,\,\,\,$

也很容易看出 ${\begin{matrix}(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\end{matrix}}$

分數指數

到目前為止，我們只看到了整數指數，但指數也可以是分數。對於分數指數，分子作為普通整數指數，而分母作為根。

一般而言，$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}\,\,\,\,$ 對於任何實數 $q$ ≠ 0。

以 $8^{2/3}$ 為例。首先，我們將 8 乘以分子的指數 2。然後，由於分母是 3，我們對這個數字取三次方根。這個表示式讀作“8 的平方開立方”，寫作

$8^{2/3}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}=4$

因此，當分數指數的分子為 1 時，這個表示式就是一個簡單的根。也就是說，$1/2$ 是平方根，$1/3$ 是三次方根，$1/4$ 是四次方根，等等。

例如，$9^{1/2}$ 讀作“9 的平方根”，寫作

$9^{1/2}={\sqrt[{2}]{9^{1}}}={\sqrt {9}}=3$

另請參見：根式