兩年制學院預備代數/附錄（程式）/帶進位的整數乘法

乘法

乘法用星號 (*)、 $\times$ 或 $\cdot$ 符號表示。然而，X 符號通常不用於代數，而僅限於非常基礎的初等數學，因為它很容易與“x”變數混淆。通用乘法運算子將接收任何兩個數字（稱為因子）作為運算元。結果稱為這兩個數字的乘積。如果乘數並非都以數字形式寫出，則可以省略乘號。因此，以下示例表示式是等效的

$3*\!(a*b)=3\times \!(a\times b)=3\!\cdot \!(a\!\cdot \!b)=3\!\cdot \!(ab)=3(a\!\cdot \!b)=3(ab)=3ab$

乘法是重複加法的一種形式。例如 $3\times 5$ 表示

$3+3+3+3+3\quad \operatorname {or} \quad 5+5+5$

乘法也是可交換的。這意味著兩個數字（因子）的乘法將給出相同的乘積，而不管數字相乘的順序如何。

指數為大於 1 的整數的數字表示要相乘的因子數量，因此該數字自身乘以與指數所示次數相同的次數。指數為 1 的數字只有一個因子，因此等於該數字。任何指數為 0 的數字都沒有因子，結果為 1。示例

$5^{3}=5\times 5\times 5\qquad \qquad 5^{1}=5\qquad \qquad 5^{0}=1$

長乘法

長乘法是大於 12 的數字的乘法，但通常只使用 1 到 9 的事實。在嘗試長乘法之前，請確保您知道 1 到 9 的事實。其他的是可選的，但會使長除法稍微容易一些。垂直乘法方法的步驟如下

1. 寫下數字。

  52
  19
 ------

2. 將 9 乘以 2。如果答案有十位數，則重新分組。將 9 乘以 5，加上重新分組，並寫下數字。您應該有

  1
  52
  19
------
 468

3. 將 1 乘以 2，並將 1 乘以 5，如果需要則重新分組，但這次將答案向左移動一個空格。如果您願意，可以在 8 下面放一個 0。您現在應該有

  52
  19
------
 468
 520

4. 現在相加。

 52
 19
-----
468
520
-----
988

如果您正在乘以小數，則在沒有小數點的情況下乘以。計算兩個數字中小數點後的位數，並將小數點後的位數相加。在答案中，計算小數點後需要移動的位數。將小數點放在那裡。

5. 總結

垂直寫下問題。將第二個數字的最後一位乘以第一個數字的最後一位。如果答案有十位數，則重新分組。用它乘以倒數第二位，並加上重新分組。對第二個數字的倒數第二位重複此過程，但在您之前得到的數字下方的行末尾放一個 0，如果第三行放 2 個 0，並重復此過程，直到問題完成。

快速乘法

快速乘法是指您可以透過簡單地使用“10”的乘法方法來合理地將大於 10 小於 1000 的數字相乘的方法。這是透過識別數字中有多少位來完成的。以下是一些對快速乘數非常有用的步驟

1. 看看您是否可以識別末尾的任何零，並將它們簡單地“新增到”您的答案中。

  45,300 x 5
  The easy way to do this is "taking away" the 2 zeros for now and reserving them for later.
  
  the number is now 453 x 5, which is much too mind boggling to do. 
  Now here comes the interesting part of the method
  of "10's"

2. 將數字分解成它的“10”部分

  What this means is basically breakup the number by its place value.

  453 = 4 (hundreds place) + 5 (tens place) + 3 (ones place)

  Knowing that, this become 400, 50 and 3.

3. 相乘並應用“10”部分

  okay now simply multiply:

  So, here is a step where we essentially take out the "0's" out for a bit and put it back
  in when were done.

  so, its now 5 x 400. in order to make it easier, "take out" the zeroes for now and 
  multiply 4 x 5 = 20. Now
  heres the magic. Since you magically took away the 2 zeroes, you will now suddenly make
  the 2 zeroes reappear!
  20 + "00" = 2000! AMAZING! (the quotes means they're magic zeroes, and simply not the value 
  of zero!)

  50 is done the same away. Take away the "0" and multiply 5 x 5 = 25. Now add it back, 25 +
  "0" = 250

  Simply 3 x 5 = 15

4. 現在，變變變，將它們全部加起來！

5. 現在取您在開頭預留的兩個零（來自原始的 45,300），並將它們新增到末尾以獲得您的答案：226,500。

步驟 2：乘以非零友好的數字

  2102 x 52

使用之前的步驟，識別出

2102 = 2 (thousand) + 1(hundred) + 0 (tens) + 2 (ones)
  52 = 5 (tens) + 2 (ones)

Now, to make it easier on yourself, circle the number 2 of "52" and put it in your magic 
hat. (2)

Now the problem becomes 2102 x 50. Look familiar? First of all, take out the magic "0" and 
put it in the hat, too.
Since we recognized that 50 is basically 5 with an added magical "0" to it, we now see the 
problem as

2102 x 5!

Now break down the bigger, uglier number and start multiplying:
2000 x 5 (take away the magic zeroes) = 2 x 5 = 10 + "000"(now put them back!) = 10,000 (notice it has 4 zeroes)
 100 x 5 (take away the magic zeroes) = 1 x 5 = 5 + "00"  (now put them back!) =   500 (2 zeroes)
   2 x 5  (sadly, no magical zeroes)  = 2 x 5 = 10                             =    10 (1 zero)

 Remember, after every step, be sure to put your friendly magical "0" back in:
 10,000 + "0" =100,000  
    500 + "0" =  5,000
     10 + "0" =    100
   (notice how the number of zeroes on the left side equal the number of zeroes on the right
   side)

Now add them all together:

 100000
   5000
    100
 -----
 105100....... That's not all yet folks! Do you remember the 2 in your magic hat? Lets get it to work:

  2 x 2102 = 
      2000 x 2 = 2 x 2 = 4 = 4000
       100 x 2 = 1 x 2 = 2 =  200
         2 x 2             =    4
                     total:  4204

  So the answer should be
   105,100
     4,204
   -------
   109,304! Wow!

練習

答案

除法

除法使用 ÷ 符號。它也可以用斜槓 /、: 或分數線表示。一般的除法運算子可以接受任意兩個數作為運算元。÷ 符號前的數稱為被除數，÷ 符號後的數稱為除數。結果稱為這兩個數的商。

除法不是交換運算。交換被除數和除數可能會得到不同的商 (但有時不會)。除數為 0 的除法沒有定義。它沒有答案。

例子

$4/2=2$ 和 $2/4=0.5$

長除法

在算術中，長除法是一種用於進行兩個實數之間除法的演算法。它只需要寫下數字的手段，即使對於大型被除數也易於執行，因為該演算法將一個複雜的除法問題分解成較小的問題。但是，該過程需要將各種數字除以除數：對於一位數除數來說，這很簡單，但對於較大的除數來說就變得更加困難了。

該方法的更廣義版本用於對多項式進行長除法（有時使用稱為合成除法的簡寫版本）。

在長除法符號中，500 ÷ 4 = 125 表示如下

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\\end{matrix}}

該方法涉及幾個步驟

1. 以這種形式寫出被除數和除數

4{\overline {)500}}

在本例中，500 是被除數，4 是除數。

2. 考慮被除數的最左邊的數字 (5)。找到小於最左邊數字的除數的最大倍數：換句話說，在腦海中執行“5 除以 4”。如果這個數字太小，則考慮前兩位數字。

在本例中，小於 5 的 4 的最大倍數是 4。將這個數字寫到被除數的最左邊數字的下方。將倍數除以除數 (4 除以 4 = 1) 寫到被除數的最左邊數字上方的線上。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\4\end{matrix}}

3. 從被除數中使用的數字中減去被除數下方的數字。將結果（餘數）（5 − 4 = 1）寫在最下面數字的下方，然後將零（第二位數字）放到它的右邊。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\end{matrix}}

4. 重複步驟 2 和 3，但使用你剛剛建立的數字進行除法，並在第二位數字的上方和下方寫下結果。

{\begin{matrix}\,\,12\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\end{matrix}}

5. 重複步驟 4，直到被除數中沒有剩餘的數字。線上方寫的數字就是商，最後計算的餘數就是整個問題的餘數。

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\quad \;\,{\underline {20}}\\\qquad 0\end{matrix}}

示例

答案