小學數學/機率
在數學中，機率告訴我們某件事發生的可能性。
如果某件事絕對確定會發生，我們說它的機率為一。如果某件事不可能發生，我們說它的機率為零。機率在零和一之間意味著我們不能確定會發生什麼，但數字越高，某件事發生的可能性就越大。如果某件事的機率為 0.25，大多數人會說“它可能不會發生”。
不幸的是，孩子們很難理解 0.25 的機率意味著什麼。孩子們更擅長理解百分比（25%）和分數（即“它大約會發生 ¼ 的時間”）中的機率，因此將機率與這些技能和理解的發展聯絡起來非常重要。
機率很難教，但最好用模型來教。兩個最有效且常用的用來教機率的模型是面積和樹狀圖。
面積圖讓學生了解某件事發生的可能性，透過為該機率保留的空間大小來體現。考慮拋硬幣。
學生可以想象，每次他們拋硬幣時，都需要將硬幣放到矩形的相應一邊。隨著拋擲次數的增加，將硬幣圍住所需的面積在兩邊都會相同。相同的機率可以使用樹狀圖來表示。
在這個簡單的樹狀圖中，每條線（或事件路徑）將被跟隨 ½ 的時間。請注意，這兩個圖都顯示了所有可能性，而不僅僅是某一事件的機率。
這兩個模型都可以變得更加複雜。考慮連續拋兩次硬幣的所有可能性。
在上面的面積矩形中，連續兩次丟擲正面硬幣的例項用左上角表示。請注意，丟擲正面和反面（任何順序）的機率是 50% 或 1/2，而連續丟擲兩次正面的機率是 25% 或 1/4。
雖然樹狀圖提供相同的資訊，但學生需要理解底部所有事件發生的可能性相同（這在面積圖中更直觀）。然而，樹狀圖的優點是更好地顯示了事件的時間順序（在本例中，事件的順序由向下運動表示）。
雖然這兩個模型似乎都有優缺點，但這並不是重點。透過熟悉這些模型和其他模型，學生對機率的本質有了更強大和多元的理解。
考慮以下問題
如果任何時候一隻狗生下雄性幼犬的可能性與生下雌性幼犬的可能性相同，並且她生了一窩 5 只幼犬，那麼這窩幼犬全部為同一性別的機率是多少？
雖然這個問題可以用標準公式輕鬆解答，，其中 n 是出生的幼犬數量，這種命名法不僅對學生來說難以理解，而且教給學生這種命名法並不會讓他們理解底層概念。另一方面，如果他們用樹狀圖探索過類似的問題，他們應該能夠很容易地看到出現的模式，從而推斷出找到正確答案的“公式”。假設一個學生畫了一個樹狀圖，顯示了三個幼犬的窩的排列。
如果老師讓這個學生分享他們的作品，班上的學生在檢視這個模型時會發現有 8 種可能的結果。他們還會注意到，只有一窩全是雄性或全是雌性的情況出現在樹的兩端。
學生總是被鼓勵在許多數學探索中尋找模式。在這裡，學生開始注意到，可能性數量可以透過將數字 2 自身乘以與新結果出現的次數相同的次數來確定。在本例中，三個結果（出生的幼犬）連續發生。所以 2 x 2 x 2 = 23，或 8 種可能的結果。一旦學生看到與這種模式的聯絡，他們可能會推斷出如果一窩有 5 只幼犬，則可能的結果數量是 25，或 32，其中只有 2 種（由組合 MMMMM 和 FFFFF 在兩端表示）將導致一窩全是相同性別的幼犬。
老師總是希望學生將他們正在學習的其他技能聯絡起來。在本例中，老師可能會要求學生用簡化分數 (1/16) 和百分比 (6.25%) 表示答案。
由於我們正在使用數學來幫助我們理解會發生什麼，因此能夠寫出這樣的等式可能會有所幫助
Pr(X) = y
如果此等式為真，我們就會說“事件 X 發生的機率為 y”。例如，我們可以說
X = 拋硬幣出現正面
Pr(X) = 0.5
由於字母 X 代表的是事件，而不是數字，我們不想將它們混淆，因此我們將使用大寫字母表示事件，使用小寫字母表示數字。符號 Pr 表示一個函式，它具有一些不錯的屬性，但目前我們只將其視為“事件 X 的機率”的簡短寫法。
由於機率始終是 0 和 1 之間的數字，因此我們通常將它們表示為百分比或分數。當有人說“我 100% 確定我的球隊會贏”時，百分比似乎很自然。但是，分數在實際計算機率方面更有意義，並且能夠計算機率來嘗試做出明智的決定非常有用，因此我們將在本文中使用分數。
計算事件機率的基本規則很簡單，如果事件是您試圖計算機率的事件（稱為 X），並且事件是基於公平隨機性的已知選擇集中的確定選擇。並非所有事情都是這樣，但是拋硬幣、擲單個骰子、抽取一張牌或閉著眼睛從袋子裡抽取一張票都是隨機且公平的，因為每種可能性都同樣有可能。但是，像兩個骰子之和這樣的稍微複雜的事情的機率並不那麼容易——這使得它變得有趣！
假設我們有一個骰子。它有六個面，據我們所知，如果我們擲骰子，每個面朝上的可能性相同。我們現在可以使用我們計算機率的基本規則來計算每個可能結果的機率。基本規則是取代表事件（稱為 X）的結果數量，並將該數量除以所有可能結果的總數。因此，對於擲骰子
Pr(“得到 1”) = 1 個有 1 個點的面 / 6 個面 = 1/6
Pr(“得到 2”) = 1 個有 2 個點的面 / 6 個面 = 1/6
Pr(“得到 3”) = 1 個有 3 個點的面 / 6 個面 = 1/6
Pr(“得到 4”) = 1 個有 4 個點的面 / 6 個面 = 1/6
Pr(“得到 5”) = 1 個有 5 個點的面 / 6 個面 = 1/6
Pr(“得到 6”) = 1 個有 6 個點的面 / 6 個面 = 1/6
因此，我們有 6 種可能性，每種可能性都有 1/6 的機率。我們知道 6 * (1/ 6) = 1。實際上，這是一個機率基本規則的示例
所有可能性的機率之和等於一。
但是您可能知道骰子的每個面朝上的可能性相同，因此到目前為止，我們還沒有做任何有用的事情。因此，讓我們問一個問題：如果您擲兩個骰子，並將它們加在一起，它們的總和等於 7 的機率是多少？知道這一點可以幫助我們在很多遊戲中獲勝（例如大富翁（Parker Brothers 商標）），因此知道答案非常有價值。
為了找到答案，我們應用基本規則，但是現在我們並不知道將兩個骰子一起擲出有多少種可能的結果等於 7。但是，知道有多少種總可能的結果很容易：6 乘以 6 = 36。找到有多少種可能的骰子擲出結果之和等於 7 的一種方法是列出一個包含所有可能骰子擲出的結果的表，並計算 7 的數量。這裡有一個
***| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 =========================== 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
頂部的數字表示第一個骰子上的值，左邊的值表示您將它們一起擲出時第二個骰子的值。表中的值表示第一個和第二個骰子的總和。（請注意，數字範圍從 2 到 12——不可能擲出兩個骰子得到小於 2 的數字！）
因此，如果我們仔細觀察，我們可以看到該表中正好有 6 個 7。因此，如果您擲出兩個骰子，得到 7 的機率是 36 中的 6 個，或者
Pr(得到 7) = 6 / 36 = 1 / 6。
(1 / 6 是與 6 / 36 相等的簡單分數。)
也許這並不讓你感到意外，但讓我們看看所有可能性。
Pr(得到2) = 1 / 36
Pr(得到3) = 2 / 36
Pr(得到4) = 3 / 36
Pr(得到5) = 4 / 36
Pr(得到6) = 5 / 36
Pr(得到7) = 6 / 36
Pr(得到8) = 5 / 36
Pr(得到9) = 4 / 36
Pr(得到10) = 3 / 36
Pr(得到11) = 2 / 36
Pr(得到12) = 1 / 36
你覺得如果我們將所有這些機率加在一起會得到什麼？它們應該等於 36 / 36，對吧？檢查一下它們是否相等。
你知道得到 5 的機率是得到 2 的機率的四倍嗎？你知道得到 5、6、7 或 8 的機率比其他 7 個數字的機率加起來還要高嗎？如果我們談論的事件是完全獨立的，就像在這種情況下一樣，我們可以透過將機率加在一起來了解這些事情。因此，我們甚至可以寫下
Pr(得到 5、6、7 或 8) = Pr(得到 5) + Pr(得到 6) + Pr(得到 7) + Pr(得到 8)
但我們可以用這些分數代替並輕鬆地將它們加起來得到
Pr(得到 5、6、7 或 8) = (4+5+6+5)/36 = 20/36。
由於我們知道所有可能事件的機率必須等於 1，因此我們可以實際使用它來計算機率
Pr(得到 2、3、4、9、10、11 或 12) = 1 - (20/36) = (36/36 - 20/36) = 16/36。
這樣，我們就不必把所有這些單獨的機率加起來，我們只需要從 1 中減去我們的分數。
在數學上，我們可以說：Pr(某些事件) = 1 - Pr(所有其他可能事件)
你現在可能想花點時間拿兩個骰子，擲 3*36 = 108 次，每次記錄它們之和。你為每個和得到的數字不會正好是 3 倍於我們計算出的機率，但它應該非常接近！你應該得到大約 18 個七。這對和朋友一起玩很有趣；你可以讓每個人擲 36 次，然後將所有結果加起來，得到所有可能的和。
如果你擲很多次，結果很可能接近某一結果的機率乘以擲的次數，這一事實被稱為大數定律。它將機率的數學與現實聯絡起來，讓你可以用數學來做出一個好的決定，關於你可能會在遊戲中擲出什麼，或者任何其他你可以計算或估計機率的事情。
以下是一項家庭作業，供你們每個人完成：計算擲兩個骰子的所有可能和的機率，但使用兩個不同的骰子：一個只出現 1、2、3 或 4，另一個出現 1、2、3、4、5、6、7 或 8。注意，這些骰子（如果你願意，可以在遊戲商店買到）的最低和最高可能的擲骰次數是一樣的，但可能的擲骰次數只有 4 * 8 = 32。
***| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 ===================================== 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
Pr(得到 2) = 1 / 32
Pr(得到 3) = 2 / 32
Pr(得到 4) = 3 / 32
Pr(得到 5) = 4 / 32
Pr(得到 6) = 4 / 32
Pr(得到 7) = 4 / 32
Pr(得到 8) = 4 / 32
Pr(得到 9) = 4 / 32
Pr(得到 10) = 3 / 32
Pr(得到 11) = 2 / 32
Pr(得到 12) = 1 / 32
(你應該透過確保所有這些機率之和為 32/32 = 1 來檢查我們的工作）。
所以這很有趣：雖然擲兩個骰子的可能得分相同，但機率略有不同。由於 1/32 略大於 1/36，因此你實際上更有可能以這種方式得到 2 或 12。由於 4 /32 = 1/8 小於 6 / 36 = 1/6，因此你用這些骰子擲出 7 的機率較小。你可能已經猜到這一點，但透過計算，你就能確信無疑，而且如果你知道如何減去分數，你甚至知道減去了多少。
所以讓我們回顧一下我們學到的知識。
- 我們知道機率一詞的含義。
- 我們知道機率始終是 0 到 1 之間的數字。
- 我們知道計算一些常見機率的基本方法。
- 我們知道所有可能結果的機率之和應精確等於 1。
- 我們知道某一結果的機率等於 1 減去所有其他結果的機率。