小學數學/平均數、中位數和眾數

平均數、中位數和眾數

有三種主要的集中趨勢測度，以及一些不太常用的測度，它們都以自己的方式告訴我們一組資料的典型值是什麼。通常，在尋找集中趨勢測度時，需要將資料集中的值按從小到大排序。

眾數

眾數是指在一組數字中出現次數最多的數字。例如，如果一個班級裡有七個 12 歲的孩子，十個 13 歲的孩子，四個 14 歲的孩子，那麼眾數是 13，因為 13 歲孩子的數量比任何其他年齡段的孩子都多。在選舉中，眾數通常被稱為多數票，獲得最多票數的候選人獲勝，即使他們沒有獲得多數票（超過一半）的票數。

中位數

中位數是指一組值中的中間值。例如，如果學生在一項測試中分別取得 81 分、84 分和 93 分，那麼我們選擇 84 作為中位數。

如果你有偶數個值，則使用兩個中間值的平均值作為中位數。例如，81、84、86 和 93 的中位數是 85，因為它是兩個中間值 84 和 86 的中間值。

平均數

簡單平均數或算術平均數（有時簡稱為“平均數”或“平均值”），是指所有值的總和除以值的個數。例如，如果學生在一項測試中分別取得 81 分、84 分和 93 分，那麼平均數是 86 分。

平均值

在數學中，平均值的定義取決於不同的上下文。

在機率和統計學中，平均值和期望值被同義地使用，指的是機率分佈或該分佈所刻畫的隨機變數的集中趨勢的一種測度。[1] 在隨機變數 X 的離散機率分佈的情況下，平均值等於每個可能值的總和乘以該值的機率，也就是說，它是透過將 X 的每個可能值 x 與其機率 P(x) 相乘，然後將所有這些乘積加在一起計算的，給出 {\displaystyle \mu =\sum xP(x)} \mu =\sum xP(x)。[2] 一個類似的公式適用於連續機率分佈的情況。並非所有機率分佈都具有定義的平均值；例如，柯西分佈就是一個例子。此外，對於一些分佈，平均值是無限的：例如，當值 {\displaystyle 2^{n}} 2^{n} 的機率是 {\displaystyle {\tfrac {1}{2^{n}}}} {\tfrac {1}{2^{n}}} 對於 n = 1, 2, 3, ....

對於一個數據集，術語算術平均數、數學期望值，有時還包括平均值，被同義地使用，指的是一組離散數字的中心值：具體來說，是指所有值的總和除以值的個數。一組數字 x1, x2, ..., xn 的算術平均數通常用 {\displaystyle {\bar {x}}} {\bar {x}} 表示，讀作“x 橫”。如果資料集是基於從統計總體中抽樣獲得的一系列觀測值，那麼算術平均數被稱為樣本平均數（用 {\displaystyle {\bar {x}}} {\bar {x}} 表示），以區別於總體平均數（用 {\displaystyle \mu } \mu 或 {\displaystyle \mu _{x}} \mu _{x} 表示）。[3]

對於一個有限總體，某個屬性的總體平均數等於考慮總體中每個成員時該屬性的算術平均數。例如，總體平均身高等於所有個人身高的總和除以個人總數。樣本平均數可能與總體平均數不同，尤其是在樣本量較小的情況下。大數定律表明，樣本量越大，樣本平均數越有可能接近總體平均數。[4]

在機率和統計學之外，幾何和分析中經常使用許多其他“平均值”的概念；以下列出了一些例子。

加權平均數

加權平均數或加權平均值類似於簡單平均數，只有一個例外。在對各個值求和時，每個值都乘以一個權重因子，然後將總和除以所有權重因子的總和。這些權重因子使我們能夠在計算最終值時將某些值視為比其他值“更重要”。

示例

假設我們有兩個班級，一個有 20 個學生，另一個有 30 個學生。這兩個班級在一項特定測試中的成績是：

上午班 = 62、67、71、74、76、77、78、79、79、80、80、81、81、82、83、84、86、89、93、98

下午班 = 81、82、83、84、85、86、87、87、88、88、89、89、89、90、90、90、90、91、91、91、92、92、93、93、94、95、96、97、98、99

上午班的簡單平均數是 80%，下午班的簡單平均數是 90%。如果我們求 80% 和 90% 的簡單平均數，我們會得到 85% 作為兩個班級平均數的平均數。但是，這不是所有學生成績的平均數。要找到它，需要對所有成績求和，然後除以學生總數。

${\frac {4300\%}{50}}=86\%$

或者，你可以使用每個班級的學生人數作為權重因子，求出兩個班級平均數的加權平均數

${\frac {(20)80\%+(30)90\%}{20+30}}=86\%$

請注意，即使我們不再擁有單個學生的成績，而只有班級平均分和每個班級的學生人數，我們仍然可以透過以下方式找到所有學生成績的平均值：找到兩個班級平均分的加權平均值。

幾何平均數

幾何平均數 是兩個值透過乘法而不是加減法得到的中間值。例如，3 和 12 的幾何平均數是 6，因為您將 3 乘以相同的值（在本例中為 2）得到 6，就像您必須乘以 6 以獲得 12 一樣。求兩個值的幾何平均數的數學公式是

${\sqrt {AB}}$

其中

A = one value
B = the other value

因此，在我們的案例中

${\sqrt {3(12)}}={\sqrt {36}}=6$

請注意用於表示乘法的新的符號。現在我們可以省略乘號，簡單地顯示 AB 來表示 A×B。但是，當使用數字時，312 會讓人感到困惑，因此我們至少在一個數字周圍加上括號以使其清晰。

幾何平均數可以擴充套件到更多值

${\sqrt[{3}]{(2)(9)(12)}}={\sqrt[{3}]{216}}=6$

對於三個值，執行立方根而不是平方根。在四個值上，執行四次根。