機率論/柯爾莫哥洛夫與現代公理及其意義

基本定義

定義 2.1（柯爾莫哥洛夫公理）:

設$\Omega$ 為一個集合，設${\mathcal {F}}$ 為 $\Omega$ 的子集的代數。進一步設$P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ 為一個滿足以下條件的函式

1. $P(\Omega )=1$ 以及
2. $P(A+B)=P(A)+P(B)$.

則三元組$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 稱為機率空間。

特別注意

$P(\emptyset )=0$,

因為$P(\Omega )=P(\Omega +\emptyset )=P(\Omega )+P(\emptyset )$。

請注意，機率空間通常被定義為子集的代數是一個σ-代數。我們將在後面重新討論這些概念，並限制在上述定義中，這似乎很好地捕捉了機率的直觀概念。

基本定理

在下文中，$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 將始終是一個機率空間。

引理 2.2:

對於$A\in {\mathcal {F}}$，

$P(A)+P(A^{c})=1$.

引理 2.3:

對於$A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}$，

$P\left(\sum _{j=1}^{n}A_{j}\right)=\sum _{j=1}^{n}P(A_{j})$.

引理 2.4:

對於 $A,B\in {\mathcal {F}}$,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.

練習

• 練習 2.2.1：證明引理 2.2-2.4。