射影幾何/經典/射影變換/射影 3 空間的變換

三維變換可以按如下方式合成地定義： “主觀” 3 空間上的點 *X* 必須變換到也位於主觀空間上的點 *T*。 變換使用以下元素： 一對 “觀察點” *P* 和 *Q*，以及一個 “客觀” 3 空間。 主觀空間和客觀空間以及這兩個點都位於四維空間中，這兩個 3 空間可以在某個平面上相交。

繪製穿過點 *X* 和 *P* 的直線 *l*₁。 這條直線在客觀空間上與點 *R* 相交。 繪製穿過點 *R* 和 *Q* 的直線 *l*₂。 直線 *l₂* 在射影平面上與點 *T* 相交。 那麼 *T* 就是 *X* 的變換。

分析

令

$X:(x,y,z,0),$

$T:(T_{x},T_{y},T_{z},0),$

$P:(P_{x},P_{y},P_{z},P_{t}),$

$Q:(Q_{x},Q_{y},Q_{z},Q_{t}).$

令有一個由以下公式描述的 “客觀” 3 空間

$t=f(x,y,z)=mx+ny+kz+b$

繪製穿過點 *P* 和 *X* 的直線 *l*₁。 這條直線在客觀平面上與 *R* 相交。 這個交點可以用引數形式描述如下

$(1-\lambda _{1})X+\lambda _{1}P=(R_{x},R_{y},R_{z},mR_{x}+nR_{y}+kR_{z}+b).$

這意味著以下四個方程

$R_{x}=x+\lambda _{1}(P_{x}-x)$

$R_{y}=y+\lambda _{1}(P_{y}-y)$

$R_{z}=z+\lambda _{1}(P_{z}-z)$

$R_{t}=\lambda _{1}P_{t}=mR_{x}+nR_{y}+kR_{z}+b$

將前三個方程代入最後一個方程

$(mx+ny+kz)+\lambda _{1}(mP_{x}+nP_{y}+kP_{z}-mx-ny-kz-P_{t})+b=0$

求解λ₁,

$\lambda _{1}={-(b+mx+ny+kz) \over m(P_{x}-x)+n(P_{y}-y)+k(P_{z}-z)-P_{t}}={\lambda _{1N} \over \lambda _{1D}}.$

在點R和Q之間繪製直線l₂。這條直線與主觀三維空間相交於點T。這個交點可以用引數表示如下

$(1-\lambda _{2})R+\lambda _{2}Q=(T_{x},T_{y},T_{z},0)$

這意味著以下四個方程

$T_{x}=R_{x}+\lambda _{2}(Q_{x}-R_{x}),$

$T_{y}=R_{y}+\lambda _{2}(Q_{y}-R_{y}),$

$T_{z}=R_{z}+\lambda _{2}(Q_{z}-R_{z}),$

$R_{t}+\lambda _{2}(Q_{t}-R_{t})=0.$

最後一個方程可以求解λ₂,

$\lambda _{2}={R_{t} \over R_{t}-Q_{t}}$

然後可以代入其他三個方程

$T_{x}=R_{x}+R_{t}{Q_{x}-R_{x} \over R_{t}-Q_{t}}={R_{t}Q_{x}-R_{x}Q_{t} \over R_{t}-Q_{t}},$

$T_{y}=R_{y}+R_{t}{Q_{y}-R_{y} \over R_{t}-Q_{t}}={R_{t}Q_{y}-R_{y}Q_{t} \over R_{t}-Q_{t}},$

$T_{z}=R_{z}+R_{t}{Q_{z}-R_{z} \over R_{t}-Q_{t}}={R_{t}Q_{z}-R_{z}Q_{t} \over R_{t}-Q_{t}}.$

將從第一次交叉點獲得的 *R_x*、*R_y*、*R_z* 和 *R_t* 的值代入上述 *T_x*、*T_y* 和 *T_z* 的方程中，

$T_{x}={\lambda _{1}P_{t}Q_{x}-[x+\lambda _{1}(P_{x}-x)]Q_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}}={\lambda _{1}[P_{t}Q_{x}-Q_{t}(P_{x}-x)]-xQ_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}},$

$T_{y}={\lambda _{1}P_{t}Q_{y}-[y+\lambda _{1}(P_{y}-y)]Q_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}}={\lambda _{1}[P_{t}Q_{y}-Q_{t}(P_{y}-y)]-yQ_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}},$

$T_{z}={\lambda _{1}P_{t}Q_{z}-[z+\lambda _{1}(P_{z}-z)]Q_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}}={\lambda _{1}[P_{t}Q_{z}-Q_{t}(P_{z}-z)]-zQ_{t} \over \lambda _{1}P_{t}-Q_{t}}.$

將上述三個方程的分子和分母都乘以lambda₁ 的分母: λ_1D，

$T_{x}={\lambda _{1N}[P_{t}Q_{x}-Q_{t}(P_{x}-x)]-xQ_{t}\lambda _{1D} \over P_{t}\lambda _{1N}-Q_{t}\lambda _{1D}},$

$T_{y}={\lambda _{1N}[P_{t}Q_{y}-Q_{t}(P_{y}-y)]-yQ_{t}\lambda _{1D} \over P_{t}\lambda _{1N}-Q_{t}\lambda _{1D}},$

$T_{z}={\lambda _{1N}[P_{t}Q_{z}-Q_{t}(P_{z}-z)]-zQ_{t}\lambda _{1D} \over P_{t}\lambda _{1N}-Q_{t}\lambda _{1D}},$

將 lambda₁ 分子的值和分母的值代入

$\lambda _{1N}=b+mx+ny+kz$

$\lambda _{1D}=P_{t}+m(x-P_{x})+n(y-P_{y})+k(z-P_{z})$

得到

$T_{x}={T_{xN} \over T_{xD}}={(b+mx+ny+kz)[P_{t}Q_{x}-Q_{t}(P_{x}-x)]-xQ_{t}[P_{t}+m(x-P_{x})+n(y-P_{y})+k(z-P_{z})] \over P_{t}(b+mx+ny+kz)-Q_{t}[P_{t}+m(x-P_{x})+n(y-P_{y})+k(z-P_{z})]}.$

$T_{y}={T_{yN} \over T_{xD}}$,

$T_{yN}=(b+mx+ny+kz)[P_{t}Q_{y}-Q_{t}(P_{y}-y)]-yQ_{t}[P_{t}+m(x-P_{x})+n(y-P_{y})+k(z-P_{z})],$

$T_{z}={T_{zN} \over T_{xD}}$.

分子 *T_xN* 可以展開。你會發現 *x*、*y* 和 *z* 的二次項會相互抵消。然後收集具有相同 *x*、*y* 和 *z* 的項，得到

$T_{xN}=x(mP_{t}Q_{x}+nP_{y}Q_{t}+kP_{z}Q_{t}+Q_{t}(b-P_{t}))+yn(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t})+zk(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t})+b(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t})$

同樣，分母變成

$T_{xD}=(mx+ny+kz)(P_{t}-Q_{t})+(mP_{x}+nP_{y}+kP_{z})Q_{t}+P_{t}(b-Q_{t}).$

分子 *T_yN* 在展開並簡化後，變成

$T_{yN}=xm(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t})+y(mP_{x}Q_{t}+nP_{t}Q_{y}+kP_{z}Q_{t}+Q_{t}(b-P_{t}))+zk(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t})+b(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t}).$

同樣，分子 *T_zN* 變成

$T_{zN}=xm(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t})+yn(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t})+z(mP_{x}Q_{t}+nP_{y}Q_{t}+kP_{t}Q_{z}+Q_{t}(b-P_{t}))+b(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t}).$

四線分式變換

令

$\alpha =mP_{t}Q_{x}+nP_{y}Q_{t}+kP_{z}Q_{t}+Q_{t}(b-P_{t}),$

$\beta =n(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t}),$

$\gamma =k(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t}),$

$\delta =b(P_{t}Q_{x}-P_{x}Q_{t}),$

$\epsilon =m(P_{t}-Q_{t}),$

$\zeta =n(P_{t}-Q_{t}),$

$\eta =k(P_{t}-Q_{t}),$

$\theta =(mP_{x}+nP_{y}+kP_{z})Q_{t}+P_{t}(b-Q_{t}),$

$\iota =m(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t}),$

$\kappa =mP_{x}Q_{t}+nP_{t}Q_{y}+kP_{z}Q_{t}+Q_{t}(b-P_{t}),$

$\lambda =k(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t}),$

$\mu =b(P_{t}Q_{y}-P_{y}Q_{t}),$

$\nu =m(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t}),$

$\xi =n(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t}),$

$o=mP_{x}Q_{t}+nP_{y}Q_{t}+kP_{t}Q_{z}+Q_{t}(b-P_{t}),$

$\rho =b(P_{t}Q_{z}-P_{z}Q_{t}).$

那麼，三維空間中的變換可以表示如下：

$T_{x}={\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta \over \epsilon x+\zeta y+\eta z+\theta },$

$T_{y}={\iota x+\kappa y+\lambda z+\mu \over \epsilon x+\zeta y+\eta z+\theta },$

$T_{z}={\nu x+\xi y+oz+\rho \over \epsilon x+\zeta y+\eta z+\theta }.$

該變換的十六個係數可以排列成一個係數矩陣

$M_{T}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma &\delta \\\iota &\kappa &\lambda &\mu \\\nu &\xi &o&\rho \\\epsilon &\zeta &\eta &\theta \end{bmatrix}}.$

只要這個矩陣可逆，它的係數將描述一個四線性分數變換。

三維空間中的變換 *T* 也可以用齊次座標 表示為

$T:[x:y:z:1]\rightarrow [\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta :\iota x+\kappa y+\lambda z+\mu :\nu x+\xi y+oz+\rho :\epsilon x+\zeta y+\eta z+\theta ].$

這意味著 *T* 的係數矩陣可以直接作用於齊次座標的 4 分量向量。點的變換可以透過簡單地將係數矩陣乘以點在齊次座標下的位置向量來實現。因此，如果 *T* 變換了無窮遠平面 上的點，結果將是

$T:[x:y:z:0]\rightarrow [\alpha x+\beta y+\gamma z:\iota x+\kappa y+\lambda z:\nu x+\xi y+oz:\epsilon x+\zeta y+\eta z].$

如果 ε、ζ 和 η 都不等於零，那麼 *T* 將把無窮遠平面變換成一個主要位於仿射空間中的點的軌跡。如果 ε、ζ 和 η 都為零，那麼 *T* 將是一種特殊型別的射影變換，稱為仿射變換，它將仿射點變換成仿射點，將理想點（即無窮遠點）變換成理想點。

仿射變換群有一個仿射旋轉 子群，其矩陣形式為

$M_{AR}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma &0\\\iota &\kappa &\lambda &0\\\nu &\xi &o&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

使得子矩陣

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\iota &\kappa &\lambda \\\nu &\xi &o\end{bmatrix}}$

是正交 的。

四線性分數變換的性質

給定一對四線性分數變換 *T*₁ 和 *T*₂，其係數矩陣分別為 $M_{T_{1}}$ 和 $M_{T_{2}}$，那麼這對變換的合成是另一個四線性變換 *T*₃，其係數矩陣 $M_{T_{3}}$ 等於第一個和第二個係數矩陣的乘積，

$(T_{3}=T_{2}\circ T_{1})\leftrightarrow (M_{T_{3}}=M_{T_{2}}M_{T_{1}}).$

單位四線性分數變換 *T*_I 是係數矩陣為 單位矩陣 的變換。

給定一個空間射影 *T*₁，其係數矩陣為 $M_{T_{1}}$，該射影的逆變換是另一個射影 *T*₋₁，其係數矩陣 $M_{T_{-1}}$ 是 *T*₁ 係數矩陣的逆矩陣，

$(T_{-1}\circ T_{1}=T_{I})\leftrightarrow (M_{T_{-1}}M_{T_{1}}=I)$.

四線性變換的合成是結合律的，因此所有四線性變換的集合，連同合成運算，構成一個 群。

這個四線性變換群包含三線性變換的子群。例如，係數矩陣具有以下形式的所有四線性變換的子群

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta &0&\delta \\\iota &\kappa &0&\mu \\0&0&0&0\\\epsilon &\zeta &0&\theta \end{bmatrix}}$

與係數矩陣為

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\delta \\\iota &\kappa &\mu \\\epsilon &\zeta &\theta \end{bmatrix}}.$

的所有三線性變換群同構。這個四線性變換子群都具有以下形式

$T:(x,y,z)\rightarrow \left({\alpha x+\beta y+\delta \over \epsilon x+\zeta y+\theta },{\iota x+\kappa y+\mu \over \epsilon x+\zeta y+\theta },0\right).$

這意味著這個變換子群將像三線性變換群一樣作用於平面 *z = 0*。

平面的空間變換

3 空間中的射影變換將平面變換成平面。這可以用齊次座標更容易地證明。

令

$z=mx+ny+b$

是平面的方程。這等價於

$mx+ny-z+b=0.\qquad \qquad (21)$

方程 (21) 可以表示為矩陣乘積

$[m\ n\ -1\ b]{\begin{bmatrix}x\\.\ .\\y\\.\ .\\z\\.\ .\\1\end{bmatrix}}=0.$

可以在兩個向量之間插入一個排列矩陣，以使平面向量具有齊次座標

$[m:n:b:1]{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\ &\ &\ &\ \\0&1&0&0\\\ &\ &\ &\ \\0&0&0&1\\\ &\ &\ &\ \\0&0&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\.\ .\\y\\.\ .\\z\\.\ .\\1\end{bmatrix}}=0.\qquad \qquad (22)$

四線性變換應該將其轉換為

$[T_{m}:T_{n}:T_{b}:1]{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\\ &\ &\ &\ \\0&1&0&0\\\ &\ &\ &\ \\0&0&0&1\\\ &\ &\ &\ \\0&0&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}T_{x}\\.\ .\\T_{y}\\.\ .\\T_{z}\\.\ .\\1\end{bmatrix}}=0\qquad \qquad (23)$

其中

${\begin{bmatrix}T_{x}\\.\ .\\T_{y}\\.\ .\\T_{z}\\.\ .\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma &\delta \\\ &\ &\ &\ \\\iota &\kappa &\lambda &\mu \\\ &\ &\ &\ \\\nu &\xi &o&\rho \\\ &\ &\ &\ \\\epsilon &\zeta &\eta &\theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\.\ .\\y\\.\ .\\z\\.\ .\\1\end{bmatrix}}.\qquad \qquad (24)$

公式 (22) 等價於 $[m:n:b:1]{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {\alpha }}&{\bar {\iota }}&{\bar {\nu }}&{\bar {\epsilon }}\\{\bar {\beta }}&{\bar {\kappa }}&{\bar {\xi }}&{\bar {\zeta }}\\{\bar {\gamma }}&{\bar {\lambda }}&{\bar {o}}&{\bar {\eta }}\\{\bar {\delta }}&{\bar {\mu }}&{\bar {\rho }}&{\bar {\theta }}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha &\beta &\gamma &\delta \\\iota &\kappa &\lambda &\mu \\\nu &\xi &o&\rho \\\epsilon &\zeta &\eta &\theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\.\ .\\y\\.\ .\\z\\.\ .\\1\end{bmatrix}}=0\qquad \qquad (25)$ 其中

${\bar {\alpha }}=\left|{\begin{matrix}\kappa &\lambda &\mu \\\xi &o&\rho \\\zeta &\eta &\theta \end{matrix}}\right|;\qquad {\bar {\beta }}=\left|{\begin{matrix}\lambda &\mu &\iota \\o&\rho &\nu \\\eta &\theta &\epsilon \end{matrix}}\right|,$ 等等。

將公式 (24) 應用於公式 (25) 得

$[m:n:b:1]{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {\alpha }}&{\bar {\iota }}&{\bar {\nu }}&{\bar {\epsilon }}\\{\bar {\beta }}&{\bar {\kappa }}&{\bar {\xi }}&{\bar {\zeta }}\\{\bar {\gamma }}&{\bar {\lambda }}&{\bar {o}}&{\bar {\eta }}\\{\bar {\delta }}&{\bar {\mu }}&{\bar {\rho }}&{\bar {\theta }}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}T_{x}\\.\ .\\T_{y}\\.\ .\\T_{z}\\.\ .\\1\end{bmatrix}}=0.\qquad \qquad (26)$

結合方程 (26) 和 (23) 得出

${\begin{bmatrix}{\bar {\alpha }}&{\bar {\beta }}&{\bar {\gamma }}&{\bar {\delta }}\\{\bar {\iota }}&{\bar {\kappa }}&{\bar {\lambda }}&{\bar {\mu }}\\{\bar {\nu }}&{\bar {\xi }}&{\bar {o}}&{\bar {\rho }}\\{\bar {\epsilon }}&{\bar {\zeta }}&{\bar {\eta }}&{\bar {\theta }}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m\\.\ .\\n\\.\ .\\b\\.\ .\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}T_{m}\\.\ .\\T_{n}\\.\ .\\T_{b}\\.\ .\\1\end{bmatrix}}.$

求解 $[T_{m}:T_{n}:T_{b}:1]^{T}$,

${\begin{bmatrix}T_{m}\\.\ .\\T_{n}\\.\ .\\T_{b}\\.\ .\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\bar {\alpha }}&{\bar {\beta }}&{\bar {\delta }}&-{\bar {\gamma }}\\{\bar {\iota }}&{\bar {\kappa }}&{\bar {\mu }}&-{\bar {\lambda }}\\{\bar {\epsilon }}&{\bar {\zeta }}&{\bar {\theta }}&-{\bar {\eta }}\\-{\bar {\nu }}&-{\bar {\xi }}&-{\bar {\rho }}&{\bar {o}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m\\.\ .\\n\\.\ .\\b\\.\ .\\1\end{bmatrix}}.\qquad \qquad (27)$

公式 (27) 描述了三維空間變換如何將一個平面 (m, n, b) 轉換為另一個平面 (T_m, T_n, T_b)，其中

$T_{m}={{\bar {\alpha }}m+{\bar {\beta }}n+{\bar {\delta }}b-{\bar {\gamma }} \over -{\bar {\nu }}m-{\bar {\xi }}n-{\bar {\rho }}b+{\bar {o}}},$

$T_{n}={{\bar {\iota }}m+{\bar {\kappa }}n+{\bar {\mu }}b-{\bar {\lambda }} \over -{\bar {\nu }}m-{\bar {\xi }}n-{\bar {\rho }}b+{\bar {o}}},$

$T_{b}={{\bar {\epsilon }}m+{\bar {\zeta }}n+{\bar {\theta }}b-{\bar {\eta }} \over -{\bar {\nu }}m-{\bar {\xi }}n-{\bar {\rho }}b+{\bar {o}}}.$