謎題/決策謎題/蒙提霍爾問題/解決方案

你最初選擇的門有 1/3 的機率是獎品所在的門，而另一扇門有 2/3 的機率是獎品所在的門。

因此，如果你想要獎品，最好換門；如果你想要一隻可愛的羊，最好堅持你選擇的門。

推理

有三扇門：你最初選擇的門，蒙提開啟的門，以及第三扇門。由於剩下兩扇門，其中一扇有獎品，因此有人可能會認為，無論如何都有 1/2 的機率獲得獎品。

但是，在蒙提開啟任何門之前，你最初選擇的門有 1/3 的機率包含獎品。當蒙提開啟另一扇門時，你對最初選擇的門的瞭解沒有增加。因此，你最初選擇的門包含獎品的機率仍然是 1/3，而不是 1/2。

然而，當蒙提開啟一扇有羊的門時，那扇門包含獎品的機率降至 0。由於機率必須加起來為 1，並且你最初選擇的門包含獎品的機率仍然是 1/3，所以第三扇門包含獎品的機率上升到 2/3。這種機率的上升只是因為你瞭解到蒙提決定不開那扇特定的門。

計算

令 $D_{p}$ 為你最初選擇的門；令 $D_{o}$ 為蒙提開啟的門；令 $D_{r}$ 為第三扇門，也是剩下的門。 $C$ 是汽車或其他獎品，而 $G$ 是任何羊。假設你選擇了第三扇門 $D_{r}$ ，那麼這扇門包含獎品的機率 $p$ 是多少？

${\begin{matrix}p&=&P(D_{r}=C|D_{o}=G)\\&=&P(D_{r}=C,D_{p}=C|D_{o}=G)+P(D_{r}=C,D_{p}=G|D_{o}=G)\\&=&P(D_{r}=C|D_{p}=C,D_{o}=G)P(D_{p}=C|D_{o}=G)\\&&+P(D_{r}=C|D_{p}=G,D_{o}=G)P(D_{p}=G|D_{o}=G)\\&=&\underbrace {P(D_{r}=C|D_{p}=C,D_{o}=G)} _{=0}\underbrace {P(D_{p}=C)} _{={\frac {1}{3}}}\\&&+\underbrace {P(D_{r}=C|D_{p}=G,D_{o}=G)} _{=1}\underbrace {P(D_{p}=G)} _{={\frac {2}{3}}}\\&=&0*{\frac {1}{3}}+1*{\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\end{matrix}}$

逐行分析，這些方程表明

$p$ 等於在主持人開啟一個有山羊的門的情況下，你的門 $D_{r}$ 含有山羊的機率。
我們將 $p$ 分成兩種情況：一種是你的第一個選擇 $D_{p}$ 隱藏著獎品 $C$ ，另一種是隱藏著山羊 $G$ 。現在 $p$ 是在主持人揭示山羊的情況下， $D_{r}$ 和 $D_{p}$ 都隱藏著獎品的機率，加上在主持人揭示山羊的情況下， $D_{p}$ 隱藏著獎品，並且 $D_{p}$ 隱藏著山羊的機率。
使用公式 $P(A,B)=P(A|B)P(B)$ ，我們宣告，對於第二個分割槽，在蒙提揭示一隻羊的情況下， $D_{r}$ 獲獎的機率以及 $P_{p}$ 獲獎的機率，等於在另外兩個門都藏著羊的情況下 $D_{r}$ 獲獎的機率，乘以在蒙提揭示一隻羊的情況下， $D_{p}$ 獲獎的機率。我們對第一個分割槽也做類似的處理。
蒙提總是揭示一隻羊，而不是獎品，所以 $D_{o}=G$ 永遠為真。我們從方程中去除這個條件。然後我們進行一些替換：門 $D_{p}$ （或任何門）藏著獎品的機率為1/3，藏著羊的機率為2/3。我們知道，如果門 $D_{p}$ 已經藏著獎品，那麼門 $D_{r}$ 就不能藏著獎品，所以這個機率為0。但是，如果門 $D_{p}$ 和 $D_{o}$ 都藏著羊，那麼 $D_{r}$ 就必須藏著獎品，機率為1。
我們計算零乘以1/3加上一乘以2/3，得到 $p={\frac {1}{3}}$ 。

直觀地說，這意味著在2/3的情況下，我們最初選擇了一隻羊，主持人透過揭示另一隻羊來向我們展示汽車在哪裡。只有在1/3的情況下，我們最初選擇了汽車，而改變我們的決定會導致我們選擇一隻羊。