謎題/邏輯謎題/10頂帽子/解答
第10個學生如果看到偶數個白帽子則說“白色”，如果看到奇數個白帽子則說“紅色”（她將是唯一一個可能出錯的人）。第9個學生現在看到她前面的8頂帽子。假設其中X頂是白色的。現在有四種可能性
- 第10個學生說“白色”且X為偶數：她戴著紅帽子
- 第10個學生說“白色”且X為奇數：她戴著白帽子
- 第10個學生說“紅色”且X為偶數：她戴著白帽子
- 第10個學生說“紅色”且X為奇數：她戴著紅帽子
第9個學生可以算出哪種情況發生，並說出她帽子正確的顏色。從那時起，學生們必須從總數中減去猜對的帽子，並再次應用奇偶推理（使用第10個學生所說的話，並計算他們前面白帽子的數量）。
透過轉換，此解法有一個細微的變體：學生們不是戴紅白帽子，而是戴著標有0或1的帽子。令x1,...,x10為學生帽子上的數字。令a1,...,a10為學生的答案。學生們按與第一個解法相同的降序回答。答案被遞迴定義為
- a10 = (x1+...+x9) mod 2
- a9 = (x1+...+x8+a10) mod 2
- a8 = (x1+...+x7+a9+a10) mod 2
- ...
這些等式可以簡潔地描述如下：每個學生將他們看到的數字和他們聽到的數字加起來。如果總和為奇數，學生說一，否則說零。為了證明ai === xi mod 2，令si = x1+...+xi並使用歸納法。
基本情況：a9 === x9 mod 2
證明
- s8 + x9 === a10 mod 2
- x9 === a10 + s8 mod 2
- x9 === a9 mod 2
歸納步驟：假設ai === xi mod 2對於i = n+1,..., 9成立，那麼
- an === s(n-1) + a(n+1) +... + a10 mod 2（根據定義）
- an === s(n-1) + (s9 - sn) + a10 mod 2（根據歸納假設）
- an === xn + s9 + a10 mod 2
- an === xn mod 2（因為s9 + a10是偶數）
因此ai === xi mod 2對於i = n, n+1,..., 9成立
因此ai === xi mod 2對於i = 1,...,9成立，並且最多隻有一個答案（a10）是錯誤的。
第10個學生將看到9頂帽子，只有1或2種顏色。其中一種顏色必須顯示奇數個。如果第10個學生只說出哪種顏色顯示奇數個，那麼最初的設定可能會更容易讓學生理解。其餘的學生將透過與解答1中相同的邏輯推理得出正確答案。