量子力學/定態薛定諤方程

考慮一個被限制在一維盒中且具有不可穿透壁的粒子。當你求解薛定諤方程得到波函式時，你會得到兩組解：正宇稱的和負宇稱的

$\Psi _{P=1}=A\cos \left[{\frac {(2n+1)\pi x}{a}}\right]$ 和 $\Psi _{P=-1}=A\cos \left({\frac {2n\pi x}{a}}\right),$

其中n是任意正整數，A是歸一化常數。現在，我們可以擁有所有這些無限的狀態，如果你曾經學習過傅立葉分析，你可能會注意到，用這些狀態你可以形成任何你想要的函式——也就是說，波函式是完備的。所以我們學到了什麼？實際上很多：我們發現了哈密頓量的本徵態，它可以用來確定粒子的時間依賴性。

定態薛定諤方程的推導

我們從一般的薛定諤方程開始，並使用變數分離法。我們有

$H\Psi ={\hat {\epsilon }}\Psi$

我們將$\Psi$ 分成兩個函式

$\Psi (x,t)=T(t)X(x)$

所以現在薛定諤方程是

$HTX={\hat {\epsilon }}TX$

我們從前面知道，能量算符${\hat {\epsilon }}$的“有趣”部分是對時間求偏導數，而哈密頓量$H$的“有趣”部分是對位置求偏導數。由於$T$不依賴於位置，因此不受$H$的影響。類似地，$X$不受${\hat {\epsilon }}$的影響。

所以我們有

$THX=X{\hat {\epsilon }}T$

我們可以左乘以$T^{-1}X^{-1}$ 得到

$X^{-1}HX=T^{-1}{\hat {\epsilon }}T$

注意左側僅取決於x，右側僅取決於t。我們有兩個完全獨立的函式，但它們卻以某種方式彼此相等。這隻有在兩個函式都等於一個常數時才可能，我們將這個常數稱為E。

即

$X^{-1}HX=E$ $T^{-1}{\hat {\epsilon }}T=E$

自然地，這意味著

$HX=EX$

以及

${\hat {\epsilon }}T=ET$

然後我們可以展開$H$ 和 ${\hat {\epsilon }}$ 並求解這個方程。