觀測的量子理論/命運之林

理想觀察者命運的樹枝

理想觀察者被定義為能夠執行一系列理想測量（見 2.2）並記憶其結果的物理系統。從形式上看，它可以被認為是一組理想的測量儀器，除了在預定的時間點它們檢測需要檢測的內容之外，它們與環境隔離。

這些 $t_{i}$ 是觀測的時刻。在每個時刻 $t_{i}$，理想觀察者執行與可觀測量（見 5.2）相關的測量 $O_{i}$。因此，理想觀察者由 $(O_{i},t_{i})$ 的序列定義。這些 $O_{i}$ 作用於觀察者環境的狀態空間，即整個宇宙，除了觀察者本身。

這裡的“理想”必須與理想測量中的意義相同。當然，它不是美德的理想，而僅僅是一個理論虛構，相對於現實而言是簡化的，但足夠相似，可以幫助我們理解它。

理想觀察者不會忘記。當然，真正的觀察者（有生命的或機械的）經常忘記他們最初記憶的內容。但一般來說，資訊並沒有完全丟失，只是變得無法獲取。如果我們用一個保持所有被遺忘資訊的物理記憶來完成真正的觀察者，我們將得到一個更像理想觀察者的系統。

在上述假設的基礎上，還添加了一個關於理想觀察者之間理想通訊的原則。當觀察者 A 直接觀察另一個觀察者 B 時，B 的指標狀態始終是 A 觀察的本徵態。這樣，當 A 觀察 B 時，它只是複製了 B 記憶的資訊。因此，透過相互觀察，即透過交流，理想觀察者可以分享關於各自相對世界（見 4.7）的共同現實的資訊。

理想觀察者的完整命運由觀測結果的序列定義 $x_{i}$ 在時刻 $t_{i}$。它決定了觀察者的一系列量子態。第一個狀態在第一次測量之前開始的時刻，是所有測量儀器的初始狀態的乘積 $\prod _{i=1}^{N}|ready_{i}\rangle$。第二個狀態是 $|x_{1}\rangle \prod _{i=2}^{N}|ready_{i}\rangle$，其中 $|x_{1}\rangle$ 是結果 $x_{1}$ 的指標狀態。在第 $j$ 次測量之前開始的第 $j$ 個狀態是 

$|x_{1}\rangle ...|x_{j-1}\rangle \prod _{i=j}^{N}|ready_{i}\rangle$

命運要麼是完整的命運，要麼只是完整命運的一部分。

理想觀察者的命運形成一棵樹。樹的底部是理想觀察者的初始狀態。兩次觀察之間，樹木生長而沒有分支。當觀察發生時，一個分支會分成與測量結果一樣多的分支，這些測量結果的機率不為零。

在理想觀察者模型中，兩個分離的分支不能再次合併，因為理想觀察者保留了記憶。他們不能擁有許多過去，因為他們無法記住彼此矛盾的多個過去。

可以使用一般的測量理論（參見第 5 章）定義一個更通用的觀察者模型。然後我們必須在密度運算元而不是狀態向量上進行推理。這稍微複雜一些，並且本質上會導致相同的結論。

這裡定義的理想觀察者理論是抽象的和通用的。它沒有對觀察者所在的空間或其剩餘內容做任何假設。可以透過將非常區域性的量子態作為基態來引入三維空間。

觀察者的多個命運樹並非在三維空間中展開其分支，而是在觀察者的量子態的抽象空間中展開。如果這些狀態被定位，即使只是近似地，它們的命運也會被定位。然後，多個命運的樹木在時空上展開其分支，使其始終朝著未來的方向生長。

量子測量的不可相容性阻止兩個觀察者同時對同一個被觀測系統進行兩個不可相容的測量。如果兩個觀察者同時與第三個系統相互作用，那麼瞭解每個觀察者與第三個系統之間的相互作用不足以確定結果。必須像三個量子系統發生碰撞一樣進行推理。因此這不是一個理想的測量。

觀察者的絕對命運及其環境的相對命運

觀察者及其環境的初始狀態是宇宙的狀態。在以後的時間，宇宙的狀態由酉演化算符決定。它們通常是觀察者與其環境之間的糾纏態。因此，觀察者的每個狀態都與與其環境的相對狀態相關聯。因此，宇宙的初始狀態和理想觀察者的命運足以確定環境的相對狀態的連續性，這可以被識別為環境相對於該觀察者命運的命運。

可以說觀察者的命運是絕對的，因為它是相對於另一個觀察者的命運而言的。

命運的機率

玻恩規則可以用來給觀察者的各種命運分配機率。

一個$x_{i}$ 測量結果的機率僅取決於環境相對於觀察者在$i$ ^th 次測量之前的狀態$|\psi \rangle$ （見 4.5）

$Pr(x_{i})=|P(x_{i})|\psi \rangle |^{2}$

其中$P(x_{i})$ 是$x_{i}$ 的本徵態子空間上的投影運算元。

${\frac {P(x_{i})|\psi \rangle }{|P(x_{i})|\psi \rangle |}}$ 是測量$x_{i}$ 之後環境的相對狀態。

這樣，透過環境的初始狀態和演化運算元，就可以給理想觀察者的所有命運分配一個機率。相同的機率可以歸因於其環境的相對命運。

命運的不可組合性

理想觀察者 A 的命運和另一個理想觀察者 B 的命運是可組合的，當一個觀察者記住的資訊可以被另一個觀察者複製時。不需要它被複制，只要它可以被複制。但在 A 的命運結束時，必須將 B 的所有觀察結果傳達給 A，以便他們的命運可組合。當兩個觀察者可以就共同現實達成一致時，他們的命運是可組合的。兩個可組合命運相遇的機率永遠不為零。

兩個命運是不可組合的，當它們不可組合時。不可組合的命運是絕對分離的。它們永遠不會相遇。本書引入了不可組合性的新詞，因為在量子物理學中，不相容性已經有了另一種含義（見 2.7）。如果兩個理想觀察者的命運包含相互矛盾的觀察結果，那麼它們就是不可組合的。兩個不可組合命運相遇的機率始終為零。

兩個不可組合命運之間的分離是一種特殊的量子分離，與空間分離大不相同。當兩個命運在量子層面上分離時，相遇的不可能是決定性的，即使它們位於同一地點（見 4.9）。兩個不可組合的命運永遠無法相互作用。當兩個命運在空間上分離而沒有在量子層面上分離時，它們只需要在空間中相遇才能相互作用，並以這種方式結合起來。

我們可以用更正式、更不直觀、數學上更方便的方式定義不可組合性。形式上，所有理想觀察者都可以透過張量積組合成一個單一的理想觀察者。觀察者 $j$ 的序列 $(O_{ij},t_{ij})$ 用於定義一個新的序列 $(O'_{k},t'_{k})$，用於將它們全部統一起來的觀察者。總觀察者的每個命運都決定了每個被這樣統一的觀察者的單一命運。如果存在至少一個總觀察者的命運（非零機率），它決定了這兩個觀察者的命運，那麼這兩個觀察者的兩個命運就是可組合的。否則，它們就是不可組合的。

狀態的疊加（見 1.1）和不完全可分辨性（見 2.6）、測量的不可相容性（見 2.7）、部分的糾纏（見 4.1）、狀態的相對性（見 4.3）、透過糾纏的退相干（見 4.17）、指標態的選擇（見 5.4）和命運的不可組合性是主要概念，是量子特有的，沒有經典的類似物，它們使我們能夠理解薛定諤方程的物理意義，或者等效地理解么正運算元形式主義的意義。

命運之林的成長

當觀察者以任何方式不相互作用時，無論是直接透過相互觀察，還是透過環境中的量子系統間接地相互作用，他們的命運樹都會獨立地生長。為了發生這種情況，每個人都必須觀察不同的物體，這些物體在量子意義上與其他觀察者所觀察的物體完全分離，也就是說，它們沒有與它們糾纏在一起。

當兩個觀察者直接或間接相互作用時，它們會像菲萊蒙和鮑西斯一樣，將他們命運樹的枝幹交織在一起。因此，人們可以將多個相互作用的觀察者的多個命運視為一個不斷生長的森林，其樹木交織在一起。為了表示量子演化，這種森林的生長必須遵循非常嚴格的可能交織選擇規則。

當兩個觀察者之間的通訊是理想時，一個觀察者的每個分支都會與它變得不可組合的另一個觀察者的所有分支分離。

兩個理想觀察者 A 和 B 也可以透過環境中的第三個量子系統 C 相互作用。這並不一定是理想的溝通。

假設 A 觀察了一個系統 C，然後 B 觀察了這個系統。

如果 A 和 B 對 C 進行相同的測量，並且 C 處於這種測量本徵態之一，那麼分支不會增加，A 和 B 會獲得相同的結果，並且它們會像進行過此結果的理想通訊一樣交織它們的枝幹。如果 C 不處於測量的適當狀態，那麼 A 的分支，然後是 B 的分支，在對 C 進行測量後會增加，並且它們會像進行了獲得結果的理想通訊一樣糾纏在一起。

如果 A 和 B 的測量觀察量是不可相容的（見 2.7），那麼 A 獲得的結果不能與 B 獲得的結果相識別。在這種情況下，分支之間的糾纏不能透過結果匹配來確定。例如，如果 C 不是 A 測量的適當狀態，而它是 B 測量的適當狀態，那麼 A 的分支，然後是 B 的分支，在對 C 進行測量後會增加，但是 A 的分支在 C 的測量之前與 B 的分支可組合，仍然是可組合的。透過 C 的相互作用不會引入 A 和 B 的命運之間不可組合性的新約束。

因此，當兩個理想觀察者相互作用時，有兩個主要的方式讓兩棵樹交織它們的枝幹。如果它們相互觀察，或者如果它們測量第三個系統的相同觀察量，那麼它們會透過匹配結果來糾纏它們的枝幹。如果相互作用沒有導致共享相同的資訊，那麼它們會透過不加區分地糾纏它們的枝幹。

在 A 和 B 之間第一次相互作用之前，無論是直接還是透過第三個系統，一個觀察者的所有命運都與另一個觀察者的所有命運可組合。隨後的相互作用會引入不可組合性的約束，即命運相遇的禁止，只要 A 和 B 相互觀察，或者對第三個系統 C 進行相容的測量。因此，森林的生長伴隨著一種分化過程，即樹木之間的分離，類似於大腦成熟。最初，在生命的早期，神經元之間的連線差異很小，每個神經元都與許多其他神經元相連。隨著時間的推移，大多數這些連線會消失。

談論命運之林的成長，只是描述薛定諤方程應用於理想觀察者系統時解的一種方式。這實際上是描述從所作的簡單假設中得出的數學解。這並不是妄想，而是對數學原理結果的計算。

虛擬量子命運和費曼路徑

定義理想觀察者的測量儀器的初始狀態和指標狀態，透過張量積確定觀察者本身的指標狀態。測量儀器的指標狀態的選擇（見 5.4）也選擇了理想觀察者的指標狀態基。

當一個量子系統不是宏觀測量儀器或理想觀察者時，沒有指標狀態基是優先的（見 5.5）。人們仍然可以透過任意選擇其狀態基之一來定義多個命運。但是，沒有理由認為這些命運是真實的，因為定義它們的態通常不是系統真正經過的態。實際上，它處於這些態的疊加態，或者處於與環境糾纏的態。這就是本書將它們稱為虛擬量子命運的原因。

當 $t_{i}$ 是時間點，而 $|\phi _{i}\rangle$ 是系統 S 的狀態，由相同的索引 $i$ 索引，則 $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ 的序列就是一個費曼路徑。

$U_{i}$ 是 S 在 $t_{i-1}$ 和 $t_{i}$ 之間的演化運算元。

與費曼路徑 $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ 相關的機率幅，根據定義為

$\prod _{i}\langle \phi _{i}|U_{i}|\phi _{i-1}\rangle$

$t_{0}$ 是初始時間，而 $t_{N}$ 是最終時間。 $|\psi _{0}\rangle$ 是 S 的初始狀態，而 $|\psi \rangle$ 是最終狀態。

從 $|\psi _{0}\rangle$ 演化到 $|\psi \rangle$ 的機率幅為

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle$

其中 $U=\prod _{i=1}^{N}U_{i}$

$|a_{j}\rangle$ 是 S 狀態的正交歸一基。用 $t_{i}$ 它確定了一組從 $|\psi _{0}\rangle$ 到 $|\psi \rangle$ 的費曼路徑集 $F$。$F$ 包含所有路徑 $(|\psi _{0}\rangle ,t_{0})...(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})...(|\psi \rangle ,t_{N})$，其中 $|\phi _{i}\rangle$ 始終從 $|a_{j}\rangle$ 中選擇。如果 $f$ 是 $F$ 的一個元素，$|\phi _{i}^{f}\rangle$ 是它在時刻 $t_{i}$ 的中間態。

我們有 

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$

其中 $|\phi _{0}^{f}\rangle =|\psi _{0}\rangle$ 並且 $|\phi _{N}^{f}\rangle =|\psi \rangle$ 對所有 $f$ 在 $F$ 中。

換句話說，初始狀態和最終狀態之間演化的機率振幅是連線這兩個狀態的“所有路徑”的所有機率振幅的總和。這是費曼路徑積分（費曼與希布斯 1965）的有限版本。

證明：已知 $\sum _{j}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|=1$，我們有

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\langle \psi |U_{N}\prod _{i=1}^{N-1}(\sum _{j_{i}}|a_{j_{i}}\rangle \langle a_{j_{i}}|)U_{i}|\psi _{0}\rangle =\sum _{j_{1}...j_{N-1}}\langle \psi |U_{N}|a_{j_{N-1}}\rangle \prod _{i=1}^{N-1}\langle a_{j_{i}}|U_{i}|\psi _{0}\rangle$

$=\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$

觀察者的命運由一系列在定義時刻的量子態定義，就像費曼路徑一樣。由於大衛·德意志沒有區分命運與費曼路徑，他驚人地表明，費曼路徑積分可以用來證明多重世界存在（德意志 1997）。為了得到正確的定義，多重世界必須被視為與觀察者相關的世界，這些觀察者擁有多個命運。其中一個世界的狀態是環境（宇宙除觀察者外）相對於觀察者狀態的一種狀態。

觀察系統的命運是真實的。觀察結果確實得到了。它們是真實存在的命運的一部分。費曼路徑不能是真實命運，因為中間狀態不能被觀察，以便積分機率振幅，而不是機率（參見 4.18）。如果費曼路徑是真實命運，則必須將機率加起來。

另一個基本原因阻止了將費曼路徑與真實命運等同起來。它們會將許多過去歸因於同一個現在狀態。費曼路徑不會形成樹狀結構，因為它們可以像發散一樣容易地收斂。費曼路徑上的量子態是許多路徑的收斂點，如果這些路徑是真實命運，它們將定義許多過去。虛擬命運收斂的這種性質對於利用量子計算的並行性很重要，但它似乎顯然排除了真實命運，因為真實命運通常似乎只有一個過去。

量子計算的並行性和虛擬過去的複雜性

考慮一個具有兩個量子位的系統，它們以一種方式相互作用，使得當我們在基 {$|0\rangle ,|1\rangle$} 中推理時，第一個量子位作用於第二個量子位，但不會受到影響。因此，它們的相互作用由運算元 $U_{f}$ 描述。

$U_{f}|00\rangle =|0f(0)\rangle$

$U_{f}|10\rangle =|1f(1)\rangle$

$U_{f}|01\rangle =|0f(0)^{c}\rangle$

$U_{f}|11\rangle =|1f(1)^{c}\rangle$

其中 $f$ 是任何描述第一個量子位元對第二個量子位元的影響的函式，$0^{c}=1$ 且 $1^{c}=0$。

如果系統最初處於狀態 ${\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )$，我們得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0f(0)\rangle +|1f(1)\rangle -|0f(0)^{c}\rangle -|1f(1)^{c}\rangle )$

如果 $f(0)=f(1)$，我們得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )=-{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|f(0)\rangle +|f(0)^{c}\rangle )$

如果 $f(0)\neq f(1)$，我們得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )(|f(0)\rangle -|f(0)^{c}\rangle )$

第一個量子位的最終狀態為 $|x^{+}\rangle$ 或 $|x^{-}\rangle$，揭示了它是否總是對它的伴侶產生相同的影響。

我們可以透過區分第一個量子位的兩個虛擬命運來分析這個量子計算：一個是它在初始準備後立即進入狀態 $|0\rangle$；另一個是它進入狀態 $|1\rangle$。 算符 $U_{f}$ 決定了這兩個命運的平行演化。從影像上說，可以認為第一個量子位經歷了兩個命運，它可能對它的伴侶產生相同的影響，也可能不產生相同的影響。這兩個命運最終會匯聚到同一個狀態 $|x^{+}\rangle$ 或 $|x^{-}\rangle$。 如果是 $|x^{+}\rangle$，則該量子位在它過去的虛擬命運中都產生了相同的影響；如果是 $|x^{-}\rangle$，則它產生了不同的影響。 由於擁有多個虛擬過去，第一個量子位能夠收穫量子計算並行性的成果。

這個例子具有普遍的價值（Deutsch 1985）。 量子計算總是能夠在單步內計算函式的所有值。 例如，如果它擁有 100 個量子位記憶體作為資料暫存器，一個量子計算機可以在一步內平行計算 $2^{100}\approx 10^{30}$ （約為一萬億億億）個任意函式的值。 但是，困難在於如何收穫這種並行性的成果。 有必要觀察從所有並行發生的虛擬命運中產生的狀態，因此是一個具有許多虛擬過去的狀態。

如果我們忘記了，我們能擁有多個過去嗎？

同一個理想觀察者的兩個不同的真實命運永遠無法匯聚到一個狀態，因為一個理想觀察者永遠不會忘記，並且它不能保留相互矛盾的記憶。 但是，如果它忘記了，它能像上面的 Deutsch 量子演算法中的量子位那樣擁有多個過去嗎？

為了使並行量子計算能夠提供結果，計算機必須受到保護，使其免受與環境糾纏而產生的退相干影響。 如果發生了這種退相干，一切都會像環境觀察了並行虛擬命運一樣發生。 在這種情況下，為了計算最終結果的機率，需要對機率進行求和，而不是對振幅進行求和（見 4.18）。 狀態 $|x^{+}\rangle$ 和 $|x^{-}\rangle$ 將以相同的機率發生，而與函式 $f$ 的值無關。 並且，將不再有任何理由斷言它們擁有兩個虛擬過去。

由於我們不斷受到環境干擾引起的退相干作用，一切都彷彿我們不斷被環境觀察著。當我們忘記時，丟失的資訊並不完全消失。環境始終保留著它的痕跡。這就是為什麼兩個真正經歷過的命運即使在處於疊加狀態時也無法匯聚到同一個狀態上，即使在這個狀態下我們已經忘記了可以區分它們的東西。

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