實分析/可逆性

實分析
可逆性

在分析中，證明分析中常見的錯誤是確保操作是可逆的。可逆性在數學中很少討論，但它是建立基礎以在數學職業生涯中取得進步的不可或缺的一部分。簡單地說，

任何不改變數學語句解集的代數運算或定理應用。
可逆操作的定義

明確地說，

給定某些屬性時，變數x可能值的範圍。
x的解集定義

這兩個定義描繪了操作不可逆時的影像；不可逆。簡單來說，就是當操作透過使用操作假設比給定更多的變數時。這個主題很少被討論的通常原因是，如果你檢查提供的示例，你會發現不可逆操作涉及對公理或定理的誤用。這些錯誤通常發生在需要證明定理或問題而不知道必要屬性或定理時。

涉及運算子的示例

在您早期的數學生涯中，您可能遇到的第一個不可逆運算既是平方運算又是除法運算。我們將深入探討這些示例。

$x^{2}=|x|^{2}$

因為正值和負值在平方時都是同一個數字，所以任何涉及平方的定理都必須考慮到正值或負值的可能性。這意味著透過平方根暴露變數x時的解集會將解集增加1，即透過引入給定值x的負數。因此，預設情況下，平方是不可逆運算。

為了使該運算可逆，x的符號必須固定。如果問題的性質禁止x為這兩個值中的任何一個，那麼可能的解集將被固定，即由於禁止了一定範圍的值，您可以隔離解集。

$x(x^{2}-1)=0{\text{ and }}(x^{2}-1)=0$

這個例子很容易理解，因為它有一個圖形元件，即透過根。提到根，應該能讓你明白，從第一個方程中除以x來形成第二個方程是一個不可逆操作。

關於可逆性的更棘手的問題出現在處理不等式時。對於等式，不可逆操作就像在一側加上而另一側沒有做一樣簡單。但是，不等式通常允許單邊操作。

$a<b{\text{ and }}a<c\neq a<b<c$ 通常，擴大不等式的範圍然後縮小它是一個不可逆的操作。一個常見的經驗法則

為了使該操作可逆，使用變數 $a < b 和 a < c \neq d < c$ ，您必須證明 $a < d$ 。

以下練習將更輕鬆地進行數學上的嚴格證明。