在數學中，你可能已經習慣了表示函式、集合或數字的變數。雖然我們已經嚴格定義了用函式和集合（在較小程度上）賦予變數的性質以及可以對它們進行的關聯操作，但我們沒有關注變數如何表示數字。通常，我們只想象數字不僅僅是一個可能的值（加減的概念是公開質疑這一概念的第一種方式），而且僅僅是“一個元素”。讓我們問一下，“如果我們可以在一個變數中擁有多個數字並在其上進行操作怎麼辦？”你來到了這裡，關於向量的主題。
向量的定義
數字的集合。
假設你想要為這些向量建立一個新系統。給定一個變數v，你可能首先決定建立一些新符號來表明這個變數是一個向量，與函式或數字分開。
- v = (v1, v2) 或 w = (w1, w2)
向量，因為它們不一定是集合，所以用圓括號表示。這些括號中的每個元素都可以包含一個數字。首先要注意的是，這種符號與歐幾里得圖形座標衝突，歐幾里得圖形座標也用圓括號和裡面的數字表示。這是真的！正如你將在本頁後面的內容中看到的那樣，這種共享符號是有原因的。
首先，我們必須定義一些可以對這個定義進行的操作，否則它將變得毫無用處。幸運的是，向量標準操作是加法，一個簡單而美妙的操作。我們可以用這種方式定義兩個向量v和w之間的向量加法
向量加法的定義
v + w = (v1 + w1, v2 + w2).
為什麼？在建立新定義時，我們可以隨心所欲地進行定義。當然，這個定義很簡單，但看起來並不那麼有趣，對吧？這是真的，我們的定義不像 v + w = ((v1 + w2)/w1, (v2 + w1)/w2) 那樣有趣，但那個簡單的定義已經包含了我們通常與加法相關的熟悉屬性。
這些屬性的完整列表列在下面
向量加法屬性列表
| 結合律 |
u + (v + w) = (u + v) + w |
| 交換律 |
v + w = w + v |
| 單位元 |
∃0 : v + 0 = v |
| 逆元 |
∃w : v + w = 0 |
幸運的是，因為向量的定義依賴於已經定義的算術，這意味著我們對向量加法的定義不需要任何新的公理！讓我們證明每個屬性都是真的。
向量加法的第一個證明是結合律。這個簡單的證明將依賴於算術加法。
向量加法結合律的證明
| 首先，我們將向量加法的定義應用於等式左側。順便說一下，我們將應用它兩次。 我們已經知道加法是結合的。因此，我們可以交換括號並反向應用定義，也稱為逆向工作
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})&=(u_{1},u_{2})+(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2})\\&=(u_{1}+[v_{1}+w_{1}],u_{2}+[v_{2}+w_{2}])\\&=([u_{1}+v_{1}]+w_{1},[u_{2}+v_{2}]+w_{2})\\&=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})+(w_{1},w_{2})\\&=({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdb209f9f1095a6178e4d9dfe91a9f267c0a040)
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對於交換律，證明類似於上一個。
向量加法交換律的證明
| 首先，我們將向量加法的定義應用於等式左側。 我們已經知道加法是交換的。因此，我們可以交換變數並反向應用定義，也稱為逆向工作
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對於單位元，證明類似於上一個。
向量加法單位元的證明
| 首先，我們將向量加法的定義應用於等式左側。 我們知道加法已經存在單位元。因此，我們可以使用它並反向應用定義，即反向操作。
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