環論/整環和域

定義 1: 交換環 R 中的非零元素 'a' 稱為零因子，如果存在 R 中的某個非零元素 b 使得 ab=0。

例如，在 2x2 矩陣環中，矩陣

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$

是一個零因子，因為

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

定義 2: 如果一個交換環沒有零因子，則稱之為整環。等價地，如果一個交換環滿足$ab=0\Rightarrow a=0\ or\ b=0$，或者換句話說，$a\neq 0,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0\forall a,b\in R$，則稱之為整環。

例如，$\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 都是整環。 $\mathbb {Z} _{6}$ 不是整環（這裡 2.3=0），但 $\mathbb {Z} _{5}$ 是。

定義 3: 環 (R,+,.) 稱為除環，如果它關於操作 '.' 形成一個群。如果該群是阿貝爾群，則該環稱為域。我們將再次強調域的屬性

域 F 是一個集合，它有兩個操作，通常稱為加法和乘法，分別用 + 和 · 表示，滿足以下公理

• F 關於加法和乘法的封閉性

對於所有 a, b 在 F 中，a + b 和 a · b 都在 F 中（或者更正式地說，+ 和 · 是 F 上的二元運算）。

• 加法和乘法的結合律

對於所有 a, b, 和 c 在 F 中，以下等式成立：a + (b + c) = (a + b) + c 且 a · (b · c) = (a · b) · c。

• 加法和乘法的交換律

對於所有 a 和 b 在 F 中，以下等式成立：a + b = b + a 且 a · b = b · a。

• 加法和乘法單位元

F 中存在一個元素，稱為加法單位元，用 0 表示，使得對於所有 a 在 F 中，a + 0 = a。同樣地，存在一個元素，稱為乘法單位元，用 1 表示，使得對於所有 a 在 F 中，a · 1 = a。出於技術原因，加法單位元和乘法單位元必須不同。

• 加法和乘法逆元

對於 F 中的每個 a，存在 F 中的一個元素 −a，使得 a + (−a) = 0。類似地，對於 F 中除 0 之外的任何 a，存在 F 中的一個元素 a−1，使得 a · a−1 = 1。（元素 a + (−b) 和 a · b−1 也分別表示為 a − b 和 a/b。）換句話說，減法和除法運算存在。

• 乘法對加法的分配律

對於所有 a, b 和 c 在 F 中，以下等式成立：a · (b + c) = (a · b) + (a · c)。

顯然，每個域都是一個除環。域的最簡單例子是$\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$。一個不是域的除環是四元數域，描述如下

考慮 $\mathbb {R} ^{4}$。用符號 1 代表 (1,0,0,0)；用 i 代表 (0,1,0,0)；用 j 代表 (0,0,1,0) 以及用 k 代表 (0,0,0,1)。顯然，$\mathbb {R} ^{4}$ 中的每一個元素都可以表示為 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$，其中 $\alpha _{i}$ 是某個實數。我們根據以下規則在 $\mathbb {R} ^{4}$ 上賦予加法和乘法：兩個元素 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$ 和 $\beta _{0}(1)+\beta _{1}(i)+\beta _{2}(j)+\beta _{3}(k)$ 的加法就簡單地是 $(\alpha _{0}+\beta _{0})(1)+(\alpha _{1}+\beta _{1})(i)+(\alpha _{2}+\beta _{2})(j)+(\alpha _{3}+\beta _{3})(k)$。對於乘法，要注意如果我們強加以下規則：

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,$

那麼這些規則將決定 i、j 和 k 所有可能的乘積。

例如，由於

$-1=ijk,$

在等式兩邊右乘以 k，得到

${\begin{aligned}-k&=ijkk,\\-k&=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}$

所有其他可能的乘積都可以用類似的方法確定，這給出了以下表格：

${\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}$

對於兩個元素 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$ 和 $\beta _{0}(1)+\beta _{1}(i)+\beta _{2}(j)+\beta _{3}(k)$，它們的乘積由以上規則和分配律決定 i、j、k 的乘積。這給出了以下表達式

$\alpha _{0}\beta _{0}-\alpha _{1}\beta _{1}-\alpha _{2}\beta _{2}-\alpha _{3}\beta _{3})(1)+(\alpha _{0}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{0}+\alpha _{2}\beta _{3}-\alpha _{3}\beta _{2})(i)+(\alpha _{0}\beta _{2}-\alpha _{1}\beta _{3}+\alpha _{2}\beta _{0}+\alpha _{3}\beta _{1})(j)+(\alpha _{0}\beta _{3}-\alpha _{1}\beta _{2}-\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{3}\beta _{0})(k)$

留給讀者驗證，這樣得到的代數結構確實是一個除環。

關於整環和域的基本定理

定理 1.11：設 R 為一個交換環。那麼 R 是一個整環當且僅當 $ab=ac\Rightarrow b=c$，其中 $a,b,c\in R,a\neq 0$。

證明：$\Rightarrow$：顯然 ab=ac 意味著 a(b-c)=0。由於 a 不為零且 R 是一個整環，所以 b-c=0 或 b=c。

$\Leftarrow$：假設對於某個非零 a，我們有 ab=0。但然後 ab=a0，根據我們的假設 b=0。$\Box$.

注意：基本上，上述定理意味著積分域是滿足消去律的環。在不滿足消去律的環中，我們必然會有一些零因子。

定理 1.12：每個域都是一個積分域。

證明：令 R 為任意域。令 ab=ac，其中 $a,b,c\in R$ 且 $a\neq 0$。由於 $a^{-1}$ 存在，因此在 ab=ac 的兩邊乘以它，我們得到 b=c，即消去律成立。根據前一個定理，R 是一個積分域。 $\Box$

注意：上述結果的逆命題不一定成立，例如 $\mathbb {Z}$。

定理 1.13：每個有限積分域都是一個域。

證明：令 R 為有限積分域，並令 $x\in R$，其中 $x\neq 0,1$。只要證明 x 是一個單位即可。現在，列表 1,x,x²,x³... 不會無限延續下去，因為 R 是有限的。假設，不失一般性，對於某個 i<j，xⁱ=x^j。然後 xⁱ-x^j=0，由於 i<j，因此 x^j-i 是 R 的一個合法成員（事實上，x^j-i-1 也是）。我們有 xⁱ(1-x^j-i)=xⁱ-x^j=0。由於 x 不為零，並且 R 是一個積分域，因此 xⁱ 不為零。但隨後 1-x^j-i=0 或 x^j-i=1。由此得出，由於 x^j-i-1x=1。因此，x 是一個單位，其逆元為 x^j-i-1。 $\Box$

推論：環 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一個域，當且僅當 p 是素數。

證明：$\Rightarrow$：我們將用數字 0,1,...p-1 來表示 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中的元素。現在假設 p 是合數，且 p=ab，其中 1<a,b<p。現在 ab=0 在 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中，儘管 a,b 本身不為零。這與 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一個積分域的事實相矛盾。

$\Leftarrow$ 假設 p 是素數。只需證明 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一個整環。設 a，b 是 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中的非零元素，使得 ab=0。但 p|ab，因為 p 是素數，所以 p|a 或 p|b。這只是另一種說法，即 a=0 或 b=0 在 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中，因此 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一個整環。$\Box$

定理 1.14: 令 R 為一個環，使得方程 ax=b 對所有 $a(\neq 0)\in R$ 和所有 $b\in R$ 都有解。那麼 R 是一個除環。

證明: 我們首先證明 R 沒有零因子，然後證明它有一個單位元。令 ab=0，其中 a，b 為非零元素。現在 abx=0 對 R 中的每個 x 都成立。令 r 為 R 中的任意元素。現在根據假設，存在一個 x 使得 bx=r。使用這個 x，我們看到對 R 中的任何 r，ar=0。現在考慮 ax=a。顯然存在一個 c 使得 ac=a。但 ar=0 意味著 ac=0=a。這與 a 被選為非零元素的事實相矛盾。因此 R 沒有零因子。現在令 e 為 ax=a 的解。顯然 e 為非零元素。那麼 ae=a，並且 a(e-e²)=ae-ae²=a-ae=0，因此 e=e²。那麼對任何 x，(xe-x)e=xe-xe=0，因為 e 為非零元素，所以 xe=x，因此 R 有單位元。（ex=x 的證明類似）。

現在如果 a 為非零元素，那麼 ax=e 有一個解 a^-1。並且 (a^-1a-e)a^-1=a^-1e-ea^-1=0，因此因為 a^-1 為非零元素，我們有 a^-1a-e=0 或 a^-1a=e。那麼 aa^-1=a^-1a=e，因此 a 是一個單位元。類似地，所有非零元素都是單位元。$\Box$