環理論/環的性質

現在我們將討論一些與環相關的基本定理。我們認為學習環理論的最佳方法是自己嘗試簡單定理的證明。因此，鼓勵讀者在閱讀此處給出的證明之前，先自己完成定理的證明。通常，我們只提供證明的草稿，讀者預計在這種情況下會填補空白。

基本性質

定理 1.1：如果 R 是一個環，且$a,b,c\in R$；那麼

1. a+b=a+c 意味著 b=c。（消去律）

2. -(-a)=a。

3. R 的零元素是唯一的。

4. 任何元素的加法逆元都是唯一的。

證明:

1. 顯然在 a+b=a+c 兩邊加 -a 都能得到我們想要的結果。

2. 只需證明 a+(-a)=0，這從 -a 的定義中可以明顯看出。

3. 如果在 R 中存在兩個零元素 0 和 0'，則 0+0'=0' 且 0+0'=0，根據定義，所以 0=0'。

4. 如果 a' 和 a'' 是 a 的兩個逆元，則 a'=a'+0=a'+a+a''=0+a''=a''。$\Box$

定理 1.2：如果 R 是一個環，則對於任何$a,b,c\in R$；

1. a0=0a=0。

2. a(-b)=(-a)b=-(ab)。

3. (-a)(-b)=ab。

4. a(b-c)=ab-ac。

如果此外，R 有一個單位元素 1，那麼

5. (-1)a=-a。

6. (-1)(-1)=1.

證明:

1. a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0。根據消去律，現在可以得出 a0=0。類似地，0a=0。

2. 只需證明 a(-b)=-(ab) 或等效地 a(-b)+ab=0。現在 a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0，根據 1.，所以結果得到證明。

3. (-a)(-b)=-(a(-b))，根據 2. 再次 -(a(-b))=-(-(ab))=-(-ab)，根據 2. 但根據定理 1.1(2) -(-ab)=ab。

4. a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac，根據 2.

5. (-1)a+a=(-1)a+1a=(-1+1)a=0a=0，根據 1.，所以 (-1)a=-a。

6. 在 5. 中令 a=-1，並應用定理 1.1(2)。$\Box$

更多結果

強烈建議讀者將本節中的定理視為練習。

定理 1.3：證明一個環 R 是可交換的，當且僅當$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 對所有 $a,b\in R$ 成立。

證明：假設 R 是交換環。那麼顯然結果成立。（事實上，二項式定理：$(a+b)^{n}=\textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$ 在這種情況下成立。嘗試使用歸納法和帕斯卡恆等式來證明它：$\textstyle {\binom {n}{k}}+\textstyle {\binom {n}{k+1}}=\textstyle {\binom {n+1}{k+1}}$。）反之，假設對於每個 $a,b\in R$ 給定的關係都滿足。現在，將分配律應用於 $(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)$ 我們得到 $=a^{2}+ab+ba+b^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+ab+ab+b^{2}$，透過消去律我們有 ab=ba。因此 R 是交換環。$\Box$

定理 1.4：如果 R 是一個滿足單位元環所有條件的系統，但可能除 a+b=b+a 之外，證明公理 a+b=b+a 必須在 R 中成立，因此 R 是一個環。

證明：(a+b)(1+1)=a1+a1+b1+b1=a+a+b+b 以及 (a+b)(1+1)=a1+b1+a1+b1=a+b+a+b 分別由左分配律和右分配律得出。將兩個恆等式相等，並應用消去律，我們得到結果。$\Box$

定理 1.5：設 R 為一個環，使得 $a^{2}=a$ 對於所有 $a\in R$ 成立。證明 R 是交換環。

注意：這樣的環稱為布林環。

證明: $(a+b)^{2}=a+b$ 意味著 $a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+b$. 由於 $a^{2}=a$ 以及 $b^{2}=b$ 所以 $ab=-ba$ 透過消去律。現在，由於 $a+a=(a+a)^{2}=a^{2}+2a^{2}+a^{2}=a+a+a+a$ 所以 $a+a=0\ \forall a\in R$ 因此 R 中每個元素都是其自身的加法逆元。因此，$-ba=ba$ 因此 $ab=ba$.$\Box$

定理 1.6: 如果 R 是一個具有單位元的環，滿足 $(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ 對所有 $x,y\in R$ 成立，證明 R 是可交換的。

證明: 根據我們的假設 $[x(y+1)]^{2}=x^{2}(y+1)^{2}=x^{2}(y^{2}+2y+1)=x^{2}y^{2}+2x^{2}y+x^{2}$，以及根據分配律 $[x(y+1)]^{2}=[xy+x]^{2}=(xy+x)(xy+x)=x^{2}y^{2}+xyx+x^{2}y+x^{2}$。因此將兩者相等並應用消去律，我們有 $xyx=x^{2}y$，它作為一個恆等式成立。現在將 x+1 代入 x 的恆等式中，我們有 $(x+1)y(x+1)=(x+1)^{2}y$。這給出了 $(x+1)(yx+y)=(x+1)(xy+y)$，並且在應用分配律後，我們有 $xyx+xy+yx+y=x^{2}y+xy+xy+y$。消去律現在給出 $xy=yx$，如所要求的那樣。$\Box$

定理 1.7: 令 R 為一個環，使得對於 $x\in R$，存在唯一的 $a\in R$ 使得 xa=x。證明 ax=x。因此推斷如果 R 具有唯一的右單位元 e，則 e 是 R 的單位元。

證明: xa=x 意味著 x(a+ax-x)=xa+xax-x²=x。因此 a+ax-x=a 或者 ax=x。如果 R 具有唯一的右單位元 e，則 xe=x 意味著 ex=x，因此 e 是 R 的單位元。$\Box$

定理 1.8: 令 R 為一個具有單位元 $1\in R$ 的環。假設對於 $x\neq 0\in R\exists$ 唯一的 $y\in R$ 使得 xyx=x。證明 xy=yx=1，即 x 在 R 中可逆。

證明：假設存在 $a\in R$ 使得 xa=0。現在，x(y+a)x=(xy+xa)x=xyx+xax=xyx=x，根據 y 的唯一性，可得 y+a=a，即 a=0。所以 $xa=0\Rightarrow a=0$。現在 x(yx-1)=xyx-x=x-x=0，所以 yx-1=0。因此 yx=1。同理 xy=1。所以 x 可逆。$\Box$

定理 1.9：證明如果 1-ab 在具有單位元的環 R 中可逆，則 1-ba 也可逆。

證明：令 x 為 1-ab 的逆，即令 x(1-ab)=(1-ab)x=1。現在 (1-ba)(1+bxa)=1+bxa-ba-babxa=1-ba+b(1-ab)xa=1-ba+ba=1。同理 (1+bxa)(1-ba)=1。所以 1-ba 可逆，其逆為 1+bxa。$\Box$

定理 1.10：如果 a、b 是環 R 中的任意兩個元素，m 和 n 是任意兩個正整數，則證明以下結論：

1. (m+n)a=ma+na。

2. m(a+b)=ma+mb。

3. m(na)=(mn)a。

4. (na)(mb)=(nm)(ab)。

5. a^maⁿ=a^m+n。

6. (a^m)ⁿ=a^mn。

證明 我們將證明 4.，並將其餘部分留給讀者作為練習。

4. $(na)(mb)=(\underbrace {a+\cdots a} _{n\ times})(\underbrace {b+\cdots b} _{m\ times})=\underbrace {ab+\cdots ab} _{nm\ times}$，透過反覆運用分配律可以得到。右邊就是 (nm)(ab)。$\Box$