定義（環擴張）:
當且僅當 S {\displaystyle S} 是一個環，並且 R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} 是 S {\displaystyle S} 的子環，我們說 S {\displaystyle S} 是 R {\displaystyle R} 的**環擴張**，並寫成 S / R {\displaystyle S/R} 。
注意，如果 S / R {\displaystyle S/R} 是一個環擴張，那麼 S [ x ] / R [ x ] {\displaystyle S[x]/R[x]} 是一個環擴張；實際上，集合 S [ x ] {\displaystyle S[x]} 是所有係數在 S {\displaystyle S} 中的多項式的集合，集合 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是所有係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式的集合，並且 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是 S [ x ] {\displaystyle S[x]} 的子環。
命題（分裂環的存在）:
令 R {\displaystyle R} 為一個環，並令 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 為一個關於 R {\displaystyle R} 的多項式。那麼存在一個環擴張 S / R {\displaystyle S/R} 使得在 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 中， p {\displaystyle p} 可以分解成線性因子的乘積，即
證明： 我們用關於多項式 p {\displaystyle p} 的次數進行歸納證明。首先假設 p {\displaystyle p} 可以分解成兩個多項式 ◻ {\displaystyle \Box }
![{\displaystyle S[x]/R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201ea9121e77cbc4fccd71e65daedb65e38ec47d)
![{\displaystyle S[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ec9a5aa2223a25c0c76570fe05c7b812d796a0)
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle p\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4830e9e21e96da6790f048b35d448d9884d4409e)
對於某些 
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