環理論/環

我們將從環的定義開始。

定義 1：環是一個非空集合 R，它與由 + 和 . 定義的兩個二元運算一起，滿足以下性質對任何 $a,b,c\in R$ 成立

• $a+b\in R$
• $a+b=b+a$
• $a+(b+c)=(a+b)+c$
• 存在一個用 $0\in R$ 表示的元素，使得 $a+0=a$。0 被稱為 R 中的加法單位元或零元素。
• 對於每個 $a\in R$，存在一個元素 $b\in R$ 使得 $a+b=0$。b 被稱為 a 的加法逆元或負數，記為 b=-a，使得 a+(-a)=0。
• $a.b\in R$
• $a.(b.c)=(a.b).c$
• $a.(b+c)=a.b+a.c$ (左分配律。)
• $(a+b).c=a.c+b.c$ (右分配律。)

我們將環表示為 (R,+,.)。當上下文清楚時，我們只討論環 R，並假設運算 + 和 . 是隱含的。我們也會省略運算 a.b 中的 .，只說 ab。

環的前 5 個公理僅僅意味著 (R,+) 是一個阿貝爾群。接下來的兩個公理意味著 (R,.) 是一個半群。如果$a.b=b.a\ \forall a,b\in R$，則稱環為交換環。如果$x^{2}=x\ \forall x\in R$，則稱環為布林環。如果存在一個元素$e\in R$ 使得$ae=ea=a\ \forall a\in R$，則稱環 R 為具有單位元或么元或恆等元的環。設 R 為具有單位元 e 的環。如果存在一個元素$b\in R$ 使得$ab=ba=e$，則稱元素$a\in R$ 為可逆元。如果 n 是一個正整數，a 是環 R 中的一個元素，則我們定義$a^{n}=\underbrace {aa\cdots a} _{n\ times}$ 和$na=\underbrace {a+a\cdots +a} _{n\ times}$。

例子

最重要的環之一是整數環$\mathbb {Z}$，其中通常的加法和乘法分別扮演著 + 和 . 的角色。它是一個具有單位元 1 的交換環。偶數集$2\mathbb {Z} :=\{0,\pm 2,\pm 4\cdots \}$ 是一個沒有單位元的環的例子。與$\mathbb {Z}$ 一樣，有理數集$\mathbb {Q}$、實數集$\mathbb {R}$ 和複數集$\mathbb {C}$ 也是具有單位元的環。然而$\mathbb {N}$ 不是環。

高斯整數環由集合 $\mathbb {Z} [i]=\{m+ni:m,n\in \mathbb {Z} \}$ 給出，其中複數的通常加法和乘法是運算。這裡 i 代表 (0,1)，如複平面上通常所見。

所有具有實數項的 n 乘 n 矩陣的集合，在矩陣的通常加法和乘法下，是一個具有單位元的非交換環的例子。

模 n 的整數環

現在我們稍微偏離一下，討論一種特殊的等價關係，它會產生一類重要的有限環。

令 n 為一個正整數。如果兩個整數 *a* 和 *b* 的差 *a* − *b* 是 n 的整數倍，則稱它們在模 *n* 下同餘。

$a\equiv b{\pmod {n}}.\,$

上述數學表示式讀作："*a* 在模 *n* 下同餘於 *b*"。

例如，

$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$

因為 38 − 14 = 24，它是 12 的倍數。對於正數 *n* 和非負數 *a* 和 *b*，*a* 和 *b* 的同餘也可以理解為斷言這兩個數在除以模數 *n* 後具有相同的餘數。所以，

$38\equiv 2{\pmod {12}}\,$

因為這兩個數在除以 12 後具有相同的餘數 (2)。等效地，用 12 對這兩個數進行完整除法的分數部分是相同的：.1666... (38/12 = 3.166..., 2/12 = .1666...). 從先前的定義中，我們也看到它們的差，a - b = 36，是 12 的整數倍 (n = 12，36/12 = 3)。

對於 *a* 的負值，也適用相同的規則

$-3\equiv 2{\pmod {5}}.\,$

使這種關係成為同餘關係（尊重加法、減法和乘法）的性質如下。

如果 $a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$ 並且 $a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$，則

• $(a_{1}+a_{2})\equiv (b_{1}+b_{2}){\pmod {n}}\,$
• $(a_{1}-a_{2})\equiv (b_{1}-b_{2}){\pmod {n}}\,$
• $(a_{1}a_{2})\equiv (b_{1}b_{2}){\pmod {n}}.\,$

與任何同餘關係一樣，模n同餘是一個等價關係，整數a的等價類，記為${\overline {a}}_{n}$，是集合$\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}$。這個集合，由模n與a同餘的所有整陣列成，被稱為a模n的同餘類或剩餘類。該同餘類的另一種表示方法，要求在上下文中已知模，為$\displaystyle [a]$。

模n的同餘類集合記為$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$（或者，$\mathbb {Z} /n$或$\mathbb {Z} _{n}$），定義為

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.$

當n ≠ 0時，$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$有n個元素，可以寫成

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}_{n},{\overline {1}}_{n},{\overline {2}}_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}_{n}\right\}.$

我們可以根據以下規則定義$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$上的加法、減法和乘法

• ${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {a+b}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {a-b}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {ab}}_{n}.$

驗證這是一個正確的定義使用了之前給出的性質。

這樣，$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 就變成了一個交換環。例如，在環 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ 中，我們有

${\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}={\overline {9}}_{24}$

就像 24 小時制中的算術一樣。