環論/子環

定義 1：設 (R,+,.) 為一個環。R 的非空子集 S 稱為 R 的子環，如果 (S,+,.) 是一個環。

例如，集合 $m\mathbb {Z}$ 代表 $\{0,\pm m,\pm 2m\cdots \}$ 是整數環的子環，高斯整數集 $\mathbb {Z} [i]$ 是 $\mathbb {C}$ 的子環，集合 $\mathbb {Z} _{4}$ 在模 4 加法和乘法下具有集合 $\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}$ 作為子環。

定理 1.15：環 R 的非空子集 S 是 R 的子環當且僅當 (i)$a-b\in S$ 且 (ii)$ab\in S\forall a,b\in S$。

證明：證明是關於群的類似定理的一個基本推論。顯然必要性是清楚的。為了充分性，注意 0=a-a 在 S 中，-a=0-a 在 S 中，a+b=a-(-b) 也在 S 中。環的其他性質也隨之而來。 $\Box$

定理 1.16：環 R 的兩個子環的交集是 R 的子環。

證明：設 S₁ 和 S₂ 是兩個子環，且 $a,b\in S_{1}\cap S_{2}$。那麼 $a-b,ab\in S_{1}\cap S_{2}$，因為它們也屬於 S₁ 和 S₂。（注意交集是非空的，因為它一定包含 0）。然後，結果根據前面的定理成立。$\Box$

注意，關於並集的相應結果可能不成立。例如，$2\mathbb {Z}$ 和 $3\mathbb {Z}$ 的並集包含 3 和 2，但不包含它們的差 1，因此不是 $\mathbb {Z}$ 的子環。

定義 2：環 R 的中心定義為集合 $Z(R)=\{a\in R:xa=ax\forall x\in R\}$。

定理 1.17：環 R 的中心是 R 的子環。

證明：顯然，如果 a 和 b 是中心中的兩個元素，則對於 R 中的任何 x，x(a-b)=xa-xb=ax-bx=(a-b)x 以及 x(ab)=xab=axb=abx=(ab)x，因此 a-b 和 ab 都在中心中。現在根據定理 1.15，結果成立。$\Box$

定理 1.18：除環的中心是一個域。

證明：如果 R 是一個除環，則它的中心包含單位元 1，因為 x1=1x=x 對所有 x 成立。另外，如果 a 在中心中，並且 ab=ba=1，則對於任何 x，xb=x1b=xabb=axbb，因此 x=axb。現在 bx=baxb=1xb=xb，因此 b 也在中心中。因此，每個元素的逆也都在中心中。最後要注意，這些元素彼此之間是可交換的，因為它們與 R 的所有其他元素可交換。$\Box$。由於 R 是一個除環，因此域的其他屬性也隨之成立。

更多屬性

這些問題應該首先由讀者作為練習嘗試。

定理 1.19：如果 a 是環 R 中的固定元素，則證明 $I_{a}=\{x\in R:ax=0\}$ 是 R 的子環。

證明：顯然，如果 x，y 是 R 中的兩個元素，則 a(x-y)=ax-ay=0-0=0 以及 a(xy)=axy=0y=0，因此 I_a 是一個子環。$\Box$

定理 1.20：如果 A 和 B 是環 R 的兩個子環，則它們的和定義為集合 $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$。證明兩個子環的和不一定是子環。

證明：考慮一個環 M₂，它由所有元素屬於整數的 2x2 矩陣組成。(檢查這個是否是一個環)。很容易驗證集合 $S=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&0\\b&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}:a,b\in \mathbb {Z} \},T=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&c\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}:c\in \mathbb {Z} \}$ 是 M₂ 的子環。但是他們的和包含矩陣 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 和 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&2\\2&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 不包含它們的乘積，即 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}4&2\\2&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}$。因此兩個子環的和不一定是子環。 $\Box$.

定理 1.21：如果 x²=x，則元素 $x\in R$ 稱為冪等元素。設 e 是環 R 中的一個冪等元素。證明 $eRe=\{eae:a\in R\}$ 是 R 的一個具有單位元 e 的子環。

證明：顯然如果 x,y 屬於 eRe 那麼 x=eae 且 y=ebe 對於某些 a,b 屬於 R。那麼 x-y=eae-ebe=e(a-b)e 所以 x-y 屬於 eRe。同樣 xy=eaeebe=eaebe=e(aeb)e 所以 xy 屬於 eRe。因此 eRe 是一個子環。最後注意到 xe=eaee=eae=x 且 ex=eeae=eae=x 所以 e 是 eRe 的單位元。 $\Box$.

練習

1. 證明環 R 中元素 a 的標準化子 N(a) 由 $N(a)=\{x\in R:xa=ax\}$ 定義，是 R 的一個子環。

2. 如果 (S,+,.) 是一個域，則域 (F,+,.) 的非空子集 S 被稱為 F 的子域。證明域 F 的子集 S（包含至少兩個元素）是 F 的一個子域當且僅當 (i)$a-b\in S\forall a,b\in S$ 以及 (ii)$ab^{-1}\in S\forall a\in S,b(\neq 0)\in S$.