機器人運動學和動力學/串聯機械臂微分運動學

螺旋

一種流行且 **最小** 的表示姿態時間導數的方法是 **螺旋**。螺旋由兩個 3 × 1 向量組成：$\omega$ 和 $v$，其中 $\omega$ 是運動剛體（機械臂連桿）的角速度，而 $v$ 是運動剛體上與參考系原點瞬時重合的點的線速度。

$t=\left({\begin{array}{c}\omega \\v\end{array}}\right)$

速度傳播

相對於同一座標系表示的旋轉速度可以簡單地加起來。因此

$_{i+1}\omega _{i+1}=\,_{i+1}^{i}R\,_{i}\omega _{i}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta }}_{i+1}\end{pmatrix}}$

連桿原點的線速度等於前一個連桿原點的線速度加上旋轉分量

$_{i+1}v_{i+1}=\,_{i+1}^{i}R\left(_{i}v_{i}+_{i}\omega _{i}\times \,_{i}P_{i+1}\right)$

注意：在上式中，得到的 velocidad 是相對於當前連桿的座標系表示的。 $_{i}P_{i+1}$ 是從座標系 ${i}$ 的原點指向座標系 ${i+1}$ 的原點的向量。

示例：雙連桿平面機械臂

雙連桿平面機械臂。

從右側的圖中可以很容易地圖形化推匯出該機械臂的連桿變換。

$_{0}^{1}T={\begin{pmatrix}c_{1}&-s_{1}&0&0\\s_{1}&c_{1}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

$_{1}^{2}T={\begin{pmatrix}c_{2}&-s_{2}&0&l_{1}\\s_{2}&c_{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

$_{2}^{3}T={\begin{pmatrix}1&0&0&l_{2}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

這裡，$l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分別是連桿 1 和 2 的長度。

注意：再次注意到使用 $s_{i}$ 和 $c_{i}$ 作為 $sin(\theta _{i})$ 和 $cos(\theta _{i})$ 的簡寫符號。

因此，根據以上方程

$_{2}\omega _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\end{pmatrix}}$

和

$_{3}\omega _{3}=_{2}\omega _{2}$

同樣

$_{2}v_{2}={\begin{pmatrix}c_{2}&s_{2}&0\\-s_{2}&c_{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\0\end{pmatrix}}$

和

$_{3}v_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{2}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}+l_{2}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\0\end{pmatrix}}$

相對於基座座標系，末端執行器的速度變為

$_{0}v_{3}=\,_{0}^{3}R\,_{3}v_{3}=\,_{0}^{1}R\,_{1}^{2}R\,_{2}^{3}R\,_{3}v_{3}={\begin{pmatrix}-l_{1}s_{1}{\dot {\theta _{1}}}-l_{2}s_{12}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\l_{1}c_{1}{\dot {\theta _{1}}}-l_{2}c_{12}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\0\end{pmatrix}}$

雅可比矩陣

假設 $m$ 個運動學（末端執行器）方程。每個方程都是 $n$ 個自由度的函式

${\begin{array}{ccc}x_{1}&=&x_{1}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\\\vdots &&\vdots \\x_{m}&=&x_{m}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\\\end{array}}$

請注意，在非冗餘機械手的情況下，$m=n$.

上述方程的時間導數如下所示

${\begin{array}{ccc}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}&=&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+\cdots +{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{n}}}{\dfrac {d\theta _{n}}{dt}}\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {dx_{m}}{dt}}&=&{\dfrac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{1}}}{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+\cdots +{\dfrac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{n}}}{\dfrac {d\theta _{n}}{dt}}\end{array}}$

這可以用向量形式表示

$v=J{\frac {d\theta }{dt}}$

矩陣 $J$ 稱為雅可比矩陣，其元素是運動學方程的偏導數。末端執行器速度與（已知）關節速度之間的關係由雅可比矩陣完全描述。末端執行器速度是關節速度的線性函式。

$J={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{n}}}\end{pmatrix}}$

示例：雙連桿平面機械臂

此示例展示了另一種解決上述問題的思路。可以使用串聯機械臂位置運動學部分中介紹的技術，或透過檢視上圖來直觀地推匯出該機械臂的位置運動學方程

${\begin{array}{l}x=l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\\y=l_{1}\sin(\theta _{1})+l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\end{array}}$

因此，雅可比矩陣為

$J={\begin{pmatrix}-l_{1}\sin(\theta _{1})-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\\\end{pmatrix}}$

因此，末端執行器速度為

${\begin{array}{ccc}{\dfrac {dx}{dt}}&=&\left[-l_{1}\sin(\theta _{1})-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&\left[l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\\end{array}}$

需要注意的是，末端執行器的角速度當然是關節速度之和。另一種得到完全相同結果的方法是明確地包含角速度方程，然後相應地計算雅可比矩陣。正如預期，這個結果與上面例子中使用連桿變換矩陣得到的結果相同。

逆速度運動學

這個問題可以透過對雅可比矩陣求逆來輕鬆解決...

奇異點

如果雅可比矩陣$J$ 可逆，則可以對其求逆來輕鬆計算關節速度，前提是給定（笛卡爾）末端執行器速度。雅可比矩陣不可逆的位置（$\theta _{i}$ 的組合）被稱為**奇異點**。將 $J$ 的行列式設為零，並求解 $\theta$ 可以找到這些奇異點。這些位置對應於**自由度的喪失**。