機器人運動學與動力學/串聯機械手動力學

剛體加速度

線性加速度和角加速度是在任何時刻的線性速度和角速度向量的導數

$_{a}{\dot {v}}={\dfrac {d\,_{a}v}{dt}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\dfrac {_{a}v(t+\Delta t)-\,_{a}v(t)}{\Delta t}}$,

和

$_{a}{\dot {\omega }}={\dfrac {d\,_{a}\omega }{dt}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\dfrac {_{a}\omega (t+\Delta t)-\,_{a}\omega (t)}{\Delta t}}$

從參考系 $\{a\}$ 觀察，向量 $q$ 相對於參考系 $\{b\}$ 的線性速度，該參考系的原點與 $\{a\}$ 重合，由下式給出

$_{a}v_{q}=\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q$

對上述表示式求導，可以得到向量 $q$ 的加速度

$_{a}{\dot {v}}_{q}={\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times {\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}q$

線性速度的公式也可以寫成

$_{a}v_{q}={\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}q=\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q$

將此結果應用於加速度，得到

$_{a}{\dot {v}}_{q}=_{a}^{b}R\,_{b}{\dot {v}}_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(^{b}_{a}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

如果 $\{a\}$ 和 $\{b\}$ 的原點不重合，則需要新增 $\{b\}$ 相對於 $\{a\}$ 的線性加速度項

$_{a}{\dot {v}}_{q}=\,_{a}{\dot {v}}_{b,org}+\,_{a}^{b}R\,_{b}{\dot {v}}_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(^{b}_{a}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

對於旋轉關節，$_{b}q$ 是常數，上述表示式簡化為

$_{a}{\dot {v}}_{q}=\,_{a}{\dot {v}}_{b,org}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

一個座標系 $\{c\}$ 相對於座標系 $\{b\}$ 旋轉，而座標系 $\{b\}$ 本身相對於參考座標系 $\{a\}$ 旋轉，其相對於 $\{a\}$ 的角速度為

$_{a}\omega _{c}=\,_{a}\omega _{b}+\,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

對上述公式求導得到

$_{a}{\dot {\omega }}_{c}=\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}+{\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

將最後一項替換為之前推匯出的表示式之一

$_{a}{\dot {\omega }}_{c}=\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

慣性張量

慣性張量可以被認為是標量慣性矩的推廣

$_{a}I={\begin{pmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\\\end{pmatrix}}$

牛頓和尤拉方程

作用在剛體質心上的力 $F$，作用在總質量為 $m$ 的剛體上，導致加速度為 ${\dot {v}}_{com}$，等於

$F=m{\dot {v}}_{com}$

類似地，導致角加速度 ${\dot {\omega }}$ 的力矩 $N$ 由以下公式給出：

$N=\,_{c}I{\dot {\omega }}+\omega \times \,_{c}I\omega$,

其中 $_{c}I$ 是慣性張量，在原點與剛體質心重合的座標系 $\{c\}$ 中表示。