機器人運動學與動力學/串聯機械手靜力學

力與力矩的傳遞

本節討論如何求解串聯機械手的關節力矩，以保持其平衡。這需要為每個連桿寫下力和力矩方程。

作用在單個機械手連桿上的力和力矩。

對於連桿 $i$，如右圖所示，這將導致

這裡，

$_{i}f_{i}-_{i}f_{i+1}=0\,$

和

$_{i}n_{i}-\,_{i}n_{i+1}-\,_{i}P_{i+1}\times \,_{i+1}f_{i+1}=0$

在這個最後一個方程中，$P_{i+1}$ 是指向從座標系 ${i}$ 的原點到座標系 ${i+1}$ 的原點的向量。

上述也可以寫成

$_{i}f_{i}=\,_{i}^{i+1}R\,\,_{i+1}f_{i+1}$

和

$_{i}n_{i}=\,_{i}^{i+1}R\,\,_{i+1}n_{i+1}+\,_{i}P_{i+1}\times \,_{i+1}f_{i+1}$

上述公式構成了力從一個連桿到另一個連桿的靜態傳遞的表示式。為了使系統處於平衡狀態，$n_{i}$ 沿 Z 軸 $(0,0,{\hat {k}}_{i})$ 的分量必須等於關節力矩 $\tau$。因此，關節力矩的表示式為

$\tau _{i}=\,_{i}n_{i}^{T}\,_{i}{\hat {k}}_{i}$

示例：雙連桿平面機械手

雙連桿平面機械手。

假設一個力向量 $(F_{x},F_{y})$ 應用於右側機械手的末端執行器。關節扭矩如果增加關節角則為正，否則為負。應用上述方程得到

$_{2}F_{2}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}$

$_{2}n_{2}=L_{2}{\hat {i}}_{2}\times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\L_{2}F_{y}\end{pmatrix}}$

$_{1}F_{1}={\begin{pmatrix}c_{2}&-s_{2}&0\\s_{2}&c_{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{2}F_{x}-s_{2}F_{y}\\s_{2}F_{x}+c_{2}F_{y}\\0\end{pmatrix}}$

$_{1}n_{1}={\begin{pmatrix}c_{1}&-s_{1}&0\\s_{1}&c_{1}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\L_{2}F_{y}\end{pmatrix}}+L_{1}{\hat {i}}_{1}\times \,_{1}F_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\L_{1}s_{2}F_{x}+(L_{1}c_{2}+L_{2})F_{y}\end{pmatrix}}$

因此，系統處於平衡狀態所需的關節扭矩為

${\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}s_{2}&L_{1}c_{2}+L_{2}\\0&L_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\end{pmatrix}}$

虛功和雅可比矩陣

一般來說，功是力或力矩與位移或角位移的點積。根據虛功原理，讓這些位移變得無窮小

$F\cdot \delta x=\tau \cdot \delta \theta$,

其中等式左側表示笛卡爾座標系下末端執行器工作空間的虛功，右側對應於關節位移的虛功。當然，它們兩者必須相同。

相同的表示式也可以寫成

$F^{T}\delta x=\tau ^{T}\delta \theta$

由於雅可比矩陣的定義是 $\delta x=J\delta \theta$，上述方程變為

$F^{T}J\delta \theta =\tau ^{T}\delta \theta$

這對於所有 $\delta \theta$ 必須成立，所以

$F^{T}J=\tau ^{T}$,

或者

$\tau =J^{T}F$

在關於二連桿平面機械臂的上述例子中，矩陣確實是雅可比矩陣的轉置，相對於座標系 $\{3\}$ 表示。相對於基座標系 $\{0\}$，以下表達式有效

$\tau =\,_{0}J^{T}\,_{0}F$