SPM/貝葉斯引數平均 (BPA)

貝葉斯引數平均 (BPA)

貝葉斯引數平均是多個DCM引數的固定效應平均。這些模型需要具有相同的結構，但可以是不同的資料 - 例如，您可以對幾個受試者的資料擬合的相同模型進行平均。作為固定效應平均，當假設所有受試者都具有相同的潛在模型時，使用這種方法是合適的。

理論

假設我們有$N$個受試者，我們希望對每個受試者一個模型的引數進行平均。對於每個模型$i$，我們都有一個後驗協方差矩陣$\Sigma _{i}$，其中包含引數估計的方差（在對角線上）和協方差（在非對角線上）。它的逆是精度矩陣$\Lambda _{i}$，我們將比協方差更頻繁地使用它。每個模型還具有估計引數均值的向量，$\mu _{i}$。假設所有模型的先驗相同，先驗精度矩陣為$\Lambda _{0}$，先驗均值向量為$\mu _{0}$。

高斯分佈的貝葉斯定理指出，精度透過加法組合，而均值透過對每個均值進行加權（歸一化）精度求和來組合。

$\Lambda =(\Lambda _{i}+\Lambda _{0})$

$\mu =\Lambda ^{-1}{\Big [}(\Lambda _{i}\mu _{i})+(\Lambda _{0}\mu _{0}){\Big ]}$

跨模型的貝葉斯引數平均由此得出。它具有後驗精度

$\Lambda ={\Big (}\sum \limits _{i=1}^{N}\Lambda _{i}{\Big )}-(N-1)\Lambda _{0}$

和後驗均值

$\mu =\Lambda ^{-1}{\Bigg [}{\Big (}\sum \limits _{i=1}^{N}\Lambda _{i}\mu _{i}{\Big )}-(N-1)\Lambda _{0}\mu _{0}{\Bigg ]}$

有關這些公式的完整推導，請參閱 Will Penny 的技術說明。

實踐

圖形使用者介面 (GUI)： 點選“動態因果模型”，然後點選“平均”，再點選“BPA”。選擇您希望包含的模型以及輸出的名稱。

指令碼： 使用Matlab函式

spm_dcm_average(P,name)

其中“P”是模型檔名的元胞陣列，“name”是儲存結果的名稱。

使用任何一種方法，都會儲存一個名為“DCM_avg_name.mat”的新模型。此平均模型的內容與您選擇作為輸入的第一個模型的內容相同，除了以下內容

• DCM.Ep（平均後驗均值，$\mu$)
• DCM.Cp（平均後驗協方差矩陣，$\Lambda ^{-1}$)
• DCM.Vp（每個引數的平均後驗方差向量 - DCM.Cp 的對角線）
• DCM.Pp（每個引數的平均後驗機率）。

常見問題解答

為什麼我的估計引數均值比我預期的要大/小？

首先，請記住，這是一個貝葉斯平均，因此先驗將對結果產生影響。如果兩個引數的先驗均值均為 0，後驗均值均為 0.7，那麼如果平均值不完全為 0.7，而是更接近先驗 0，您不應該感到驚訝。平均值向先驗方向移動的程度將取決於先驗的精度。

其次，當引數相關時，可能會發現一些非常反直覺的結果，如 Kasess 及其同事所述。上述公式中的精度矩陣不僅反映了每個引數的方差，還反映了引數之間的（非對角線）協方差。如果後驗協方差非零，則 BPA 的後驗均值將偏離算術平均值。事實上，在某些協方差組合下，兩個模型中一個引數的平均值可能位於每個引數均值之外。

Kasess 等人 將 BPA（如上所述）與“後驗方差加權平均”（PVWA）進行了比較，PVWA 是相同的過程，但在平均之前將引數之間的協方差設定為零。這避免了上述反直覺的結果，但代價是不考慮協方差結構。他們發現，信噪比為 1-2 時，這對於 fMRI 資料可能是典型的，這兩種方法給出了類似的結果。任何希望在 SPM 中使用此方法的人都可以呼叫 spm_dcm_average，並將第三個引數（'nocond'）設定為 true。

nocond=true;
spm_dcm_average(P,name,nocond)

貝葉斯引數平均 (BPA) 和貝葉斯模型平均 (BMA) 之間有什麼區別？

BPA 在模型之間平均引數，而不考慮模型本身的機率。相比之下，BMA 透過包含它們的模型的機率對引數估計進行加權。因此，它可以用於在不同結構的模型之間以及跨受試者進行平均。BMA 可用於隨機效應分析，而 BPA 則不能。