動態因果模型 - 引數單位

一般來說，DCM 中的耦合引數（矩陣 A、B、C）的單位為赫茲。它們是速率常數，定義了區域內或區域之間的變化速率。但是，某些引數是 log 縮放參數 - 這指的是用於強制這些引數取正值或負值的轉換。

速率常數的概念在自連線中最為容易說明 - 矩陣 A 的對角線條目。

自連線

想象一個具有單個抑制性自連線的單區域 DCM（即矩陣 A 中的單個值）。該區域的活動水平（其狀態）表示為 $z$ 。該系統可以建模為一階線性微分方程

${\begin{aligned}{\dfrac {dz}{dt}}&=az\\z(t)&=z_{0}\cdot e^{-at}\\\end{aligned}}$

引數 $a$ 控制著該區域的衰減速率。要了解原因，我們可以考慮系統的半衰期。

與半衰期關係

半衰期 $\tau$ 是示例區域中的活動下降到其起始水平的一半的時間。從上面的定義中，我們知道可以計算時間 $\tau$ 的活動

${\begin{aligned}z(\tau )&=0.5z_{0}\\&=z_{0}\cdot e^{-a\tau }\end{aligned}}$

我們可以重新排列此表示式以找到 $\tau$ 和 $a$ 的值

${\begin{aligned}e^{-a\tau }&={\dfrac {0.5z_{0}}{z_{0}}}\\&=0.5\\\\-a\tau &=ln(0.5)\\&=ln(1)-ln(2)\\&=0-ln(2)\\&=-ln(2)\\\\\tau &={\dfrac {-ln(2)}{-a}}\\&={\dfrac {ln(2)}{a}}\\\\a&={\dfrac {ln(2)}{\tau }}\end{aligned}}$

因此， $a$ 與半衰期 $\tau$ 成反比。 $-a$ 的值越負，該區域的活動衰減越快。

限制符號

有時我們需要強制耦合引數的符號為正或負。例如，我們將每個區域的自連線 $-A$ 限制為負數，以確保其衰減並使系統達到穩定狀態。另一個例子是雙狀態 DCM，它明確地表示特定連線是興奮性的還是抑制性的。通常，所採用的方法是將引數視為耦合強度的對數，而不是耦合強度本身。然後在模型的程式碼中，它的值在使用之前被指數化，並且可以被設定為正數

a = exp(A);

或負數

a = -exp(A);

因此，在解釋結果時，重要的是要知道哪些引數是簡單的耦合強度，哪些引數是對數引數。這取決於您使用哪個 DCM 模型，下面將列出這些模型。

特定模型

用於 fMRI 的單狀態 DCM

這是用於 fMRI 的標準或“原始” DCM。A、B、C 和 D 矩陣中的所有連線都是以 Hz 為單位的耦合引數，除了 A 矩陣上的自連線，它們是對數縮放參數。這裡有兩個目的：一是強制這些連線始終為負數，二是當 A 矩陣中的值為零時，將預設強度設定為 -0.5Hz。

為了實現這一點，A 矩陣中的自連線值在模型中經歷以下變換

$a=-{\frac {e^{A}}{2}}$

其中 $A$ 是出現在 A 矩陣中的值， $a$ 是模型中使用的值。

用於 fMRI 的雙狀態 DCM

在這個模型中，A 和 B 矩陣（但不是 C 矩陣）中的所有值都是對數縮放參數。