SPM/DCM 方程. 2. 動態系統

什麼是動態方程？

要理解 DCM，你需要了解什麼是動態方程。這非常簡單。動態方程描述了過程（系統）如何隨時間或空間變化。

以下是一些例子——一個來自現實世界，另一個來自數學世界。（後者更令人興奮。）

示例 1：假設銀行給你 3% 的儲蓄利息。現在是零年年底，你極度成功的生意讓你賺了 50 英鎊。明年你會擁有多少？我們可以用動態方程算出答案

$x(1)=1.03*x(0)\,$

或者更普遍地

$x(t)=1.03*x(t-1)\,$

其中 $t$ 是時間， $x$ 是你的銀行餘額。你可以一遍又一遍地應用這個方程，以瞭解你的銀行餘額將如何發展。實際上，你可能知道有一個一次性方程可以計算任何年份的複利，但這個例子要說明的是，狀態方程是一個簡單的規則，它描述了系統（你的銀行賬戶）如何隨時間變化。

示例 2：動態方程可以表示系統如何在空間而不是時間上變化。看看這三個方程，它們描述了三個數字的變化率

{\begin{array}{lcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&\sigma (y-x)\\\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&x(\rho -z)-y\\\\{\dfrac {dz}{dt}}&=&xy-\beta z\end{array}}\,

這些方程給出了變數 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 隨時間變化的速率，而 $\sigma$ 、 $\rho$ 和 $\beta$ 是預先選擇的數字——它們是系統的引數，用於微調它。不用擔心它們的意思。

這些方程共同構成了洛倫茲吸引子，如果你把它們繪製在圖表上，你會得到一些不僅對混沌理論至關重要，而且非常漂亮的東西

因此，我們看到，將一個簡短的動態方程反覆應用於其自身的輸出，可以描述系統隨時間或空間的變化。正如我們將在下一節中探討的那樣，這樣的方程構成了動態因果建模的基礎。