SPM/DCM 方程。3. 網路和矩陣

使用動態方程來研究網路在許多領域中很常見 - 從工程、網際網路搜尋引擎到神經科學。對於 DCM，我們需要對大腦區域相互交流時發生的情況進行建模。我們將從瞭解如何用數字表示網路開始，然後逐步演示線性動態方程如何描述網路活動隨時間的變化。

網路作為矩陣

將網路表示為矩陣

網路或圖是一個由帶有箭頭的線連線起來的節點集合。在 DCM 中，這些節點代表大腦區域，兩個節點之間的箭頭表示一個區域會導致另一個區域活動的變化。

這是一個示例網路，以及下方用連線矩陣表示的相同網路。

$A=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]$

在網路的矩陣表示中，每一列代表來自大腦區域的連線，每一行代表進入大腦區域的連線。1 代表存在連線，0 代表不存在連線。

例如，要確定區域 2 是否連線到區域 3，我們需要檢視矩陣的第二列和第三行中的數字。在這裡我們找到數字 1，表示區域 2 到 3 存在連線，我們可以透過檢視上面的圖表來確認這一點。

將網路表示為矩陣使我們能夠非常簡單地詢問有關網路的問題。

網路和動態方程

假設上面的網路代表三個大腦區域，我們對區域 1 應用一些外部輸入。會發生什麼？活動將如何透過網路傳播？

我們需要一個模型，以動態方程的形式，來告訴我們網路的行為。我們的簡單模型將只包含兩件事

記錄哪個大腦區域連線到哪個其他區域。我們將使用上面的 A 矩陣用數字表示這一點。
每個區域的輸出。我們將將其儲存在一個稱為 z 的列向量中。

該模型描述了 z（每個區域的輸出）如何從時間 t 變化到時間 t+1

$z(t+1)=Az(t)\,$

很簡單！因此在這個模型中，我們只需要將 A 矩陣乘以每個區域的輸出，我們就能得到每個區域的新輸出。讓我們試試吧。

我們從只有區域 1 產生活動開始，這是由於我們對其進行的某種刺激。其他兩個區域保持沉默。我們用列向量 z 表示這一點

$z(t)=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]$

現在讓我們將我們的動態方程應用於 z，看看會發生什麼。

迭代 1

$z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]$

因此，我們從只有第一個區域，區域 1，具有活動開始。現在，我們的新 z 向量表明只有區域 2 是活動的。回顧圖表，這說得通 - 外部輸入激活了區域 1，進而激活了區域 2。我們取我們的新 z 向量並重復此過程。

迭代 2

$z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\\\end{array}}\right]$

區域 2 已啟用區域 1 和 3。我們現在將該方程重新應用於更新的 z 向量。

迭代 3

$z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]$

現在只有區域 2 處於活動狀態。系統的狀態現在與我們在迭代 2 中使用的狀態相同，因此我們知道繼續進行是毫無意義的 - 系統將在 [1 0 1] 和 [0 1 0] 之間無限迴圈。

因此，該模型（如上所示為一個動態方程）告訴我們網路的活動在給定一定輸入的情況下如何隨時間變化。

為什麼這有效

為了具體說明為什麼 $Az(t)$ 給我們提供了網路活動隨時間變化的資訊，請考慮迭代 3 結束時示例網路的活動。為什麼只有區域 2 處於活動狀態？

區域 2 是狀態向量 z 的第二個元素，它透過將 A 矩陣的第二行（表示所有進入區域 2 的連線）乘以儲存在向量 z 中的每個區域的當前輸出來計算。因此，我們將進入區域 2 的所有啟用相加，完整寫法如下：

$z_{2}(t)=A(2,:)z(t)=\left[A(2,1)*z(t)_{1}\right]+\left[A(2,2)*z(t)_{2}\right]+\left[A(2,3)*z(t)_{3}\right]=1+0+0=1$

（其中冒號：表示“所有列”）

因此，總而言之，區域 2 的新輸出是其輸入的加權總和。

總結

我們已經瞭解了一個簡單的動態方程如何模擬跨腦區網路的通訊。我們只需要新增一些額外的細節，就可以得到動態因果模型。