SPM/DCM 方程. 4. 狀態方程

我們已經看到，以下線性動態方程可以表示隨著時間的推移，資訊在網路中的流動

$z(t+1)=Az(t)\,$

如果我們在這個方程中新增幾個項，我們可以對大腦網路的更多細節進行建模。以下是 DCM 狀態方程

${\dot {z}}=(A+\sum {u_{j}B^{j}})z+Cu$

為了解釋方程中的每一項，我們將考慮以下示例模型

我們有三個由灰色圓圈表示的大腦區域。每個區域都有一個特定的輸出級別，表示為 $z_{1}\,$, $z_{2}\,$ 和 $z_{3}\,$。在這三個區域之間，由黑色箭頭表示的固定連線，在本例中僅在一個方向上進行。透過區域 1 進入我們的系統，我們有一些視覺資訊作為外部輸入。此外，區域 2 和區域 3 之間的連線受到注意力的調節。這意味著注意力只有在使用這種連線時才會產生影響。

這就是上面方程如何用於描述這種大腦模型的方式。

A 和 B 矩陣

如前所述，$z\,$ 是一個列向量，表示每個大腦區域的輸出。讓我們從說只有第一個區域目前正在產生一些輸出開始

$z=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]$

該方程為我們提供 ${\dot {z}}$，它是一個列向量，表示 $z\,$ 相對於時間的變化率 - 即每個大腦區域輸出的變化率。

如前所述，我們還有二進位制連線矩陣 $A\,$，它記錄了哪些區域連線到哪些其他區域。對於此示例，A 矩陣將如下所示

$A=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]$

我們沒有直接用向量 $z\,$ 乘以 $A\,$，就像我們以前做的那樣，$A\,$ 現在首先與一個附加項求和

$A+\sum {u_{j}B^{j}}$

進入我們的網路，我們有 $j\,$ 個調節輸入。這些輸入會修改區域之間的連線；在我們的例子中，j = 1，即注意力。對於每個調節輸入，我們都有一個 $B\,$ 矩陣，它是一個類似於 A 的二元連線矩陣，但 1 和 0 表示調節輸入連線到網路的位置。每個 B 矩陣都乘以一個調節輸入強度的向量，$u\,$.

在這個例子中，B 矩陣看起來像這樣

$B_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]$

以及輸入強度向量

$u=\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]$

我們假設第一個輸入，$u_{1}\,$，是我們的調節輸入（注意力）的強度，而第二個輸入，$u_{2}\,$，是我們的外部輸入（視覺）的強度。對於這個處理調節輸入的部分方程，我們只使用 $u\,$ 的第一個值

$u_{1}=\left[{\begin{array}{c}1\end{array}}\right]$

讓我們將我們目前討論的每個項代入 DCM 方程

${\begin{array}{lll}{\dot {z}}&=&(A+\sum {u_{j}B^{j}})z+Cu\\\\&=&\left(\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}1\end{array}}\right]*\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]\right)\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left(\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\\\end{array}}\right]\right)\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+Cu\end{array}}$

我們已經看到，固定連線 (A) 和調節連線 (B) 的組合為我們提供了一個向量 [0 1 0]，這意味著在這一步中，第二個區域的活動將增加。

現在讓我們透過新增最後一項（涉及 C 矩陣）來完成對該方程式的概述。

C 矩陣

C 矩陣決定了哪個外部輸入連線到哪個區域。它是一個矩陣，每行代表一個區域，每列代表向量 $u$ 中包含的每個輸入。

$C=\left[{\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\\0&0\\\end{array}}\right]$

所以這意味著只有第二個輸入是外部輸入，它連線到第一個區域。

現在讓我們將它代入我們一直在研究的 DCM 方程。

${\begin{array}{lll}{\dot {z}}&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\\0&0\\\end{array}}\right]*\left[{\begin{array}{c}1\\1\\\end{array}}\right]\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}}\right]\end{array}}$

總結

所以，在 DCM 狀態方程的一次迭代之後，區域 2 是活躍的，因為它接收來自區域 1 的啟用（由於 DCM 方程的第一部分），而區域 1 是活躍的，因為它接收了外部視覺輸入（由於 DCM 方程的第二部分）。

呼！

這一切有什麼意義？

動態因果模型告訴我們資訊進入大腦網路後會如何隨著時間推移而發生變化。但是，我們需要知道我們選擇的 A、B 和 C 矩陣是否為我們提供了大腦活動的良好模型。為此，我們需要

• 將我們的神經模型與一個血流動力學模型結合起來，這樣我們就知道如果神經模型能很好地反映現實生活，我們會在 fMRI 掃描器中看到什麼。
• 測試我們的神經模型與測量到的 fMRI 訊號的匹配程度，與其他模型相比，這樣我們就可以從多個模型中選擇最好的模型。

接下來的頁面將解釋我們如何做到這一點。