訊號與系統/濾波器變換

歸一化低通濾波器

設計濾波器時，通常的做法是先設計一個歸一化低通濾波器，然後使用頻譜變換將該低通濾波器變換為其他型別的濾波器（高通、帶通、帶阻）。

這樣做的原因是，設計低通濾波器所需的數值已經得到了廣泛的描述和表格化。因此，濾波器設計可以簡化為從表格中查詢適當的值，然後變換濾波器以滿足特定需求。

低通到低通變換

將歸一化低通濾波器轉換為另一個低通濾波器可以設定結果濾波器的截止頻率。這也稱為頻率縮放.

變換

擁有截止頻率為 1 Hz 的歸一化傳遞函式，可以對其進行修改以將截止頻率移動到指定值$f_{c}$.

這是透過以下替換實現的

$s\to f_{c}\cdot s$

傳遞函式

例如，雙二次傳遞函式

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}$

將被轉換為

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{2}f_{c}^{2}s^{2}+b_{1}f_{c}s+b_{0}}{a_{2}f_{c}^{2}s^{2}+a_{1}f_{c}s+a_{0}}}$

在傳遞函式中，所有係數都乘以相應的$f_{c}$ 的冪。

模擬元件值

如果濾波器由電路給出，並且其 R、L 和 C 元件值在表格中找到，則可以透過改變元件值來縮放傳遞函式。

電阻值將保持不變（可以進行進一步的阻抗縮放）。

電容值根據以下公式進行改變

${\frac {1}{sC}}\to {\frac {1}{sf_{c}{\frac {C}{f_{c}}}}}$

電感值根據以下公式進行改變

$sL\to sf_{c}{\frac {L}{f_{c}}}$

在電路中，所有電容和電感值都除以$f_{c}$.

低通到高通

此操作可以使用以下MATLAB 命令執行

lp2hp

將低通濾波器轉換為高通濾波器是最簡單的變換之一。為了轉換為高通濾波器，我們將方程式中的所有 S 替換為以下內容

$S={\frac {\Omega _{p}{\hat {\Omega _{p}}}}{\hat {S}}}$

低通到帶通

此操作可以使用以下MATLAB 命令執行

lp2bp

要將低通濾波器轉換為帶通濾波器，我們需要將 S 替換為以下內容

$S=U*I/K$

低通到帶阻

此操作可以使用以下MATLAB 命令執行

lp2bs

要將低通濾波器轉換為帶阻濾波器，我們將所有 S 的引用替換為

$S=$