訊號與系統/時域分析

在時域中分析系統可以使用許多工具，儘管其中許多工具非常複雜且涉及到很多步驟。 然而，這些工具對於線性訊號和系統的研究非常寶貴，因此這裡將對它們進行講解。

線性時不變 (LTI) 系統

此頁面將包含 LTI 系統的定義，並以此作為基礎，在下一節中定義卷積作為 LTI 系統的輸出。首先需要定義系統，並列出 LTI 屬性。 然後，對於給定的輸入，可以證明（在本節或下一節中）LTI 系統的輸出是輸入與系統脈衝響應的卷積，從而引出卷積的定義。

考慮一個系統，對於輸入 x_i(t) 產生輸出 y_i(t)，分別對應於 i = 1, 2。

線性

線性有兩個要求。 一個函式必須同時滿足這兩個條件才能被稱為“線性”。

1. 可加性: 輸入為 $x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$，則輸出為 $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$。
2. 齊次性: 輸入為 $ax_{1}$，則輸出為 $ay_{1}$

線性也稱為“滿足疊加原理”。 疊加是一個專業的術語，指的是系統具有可加性和齊次性。 線性和疊加可以互換使用，但在本書中我們將更傾向於專門使用線性這個詞。

我們可以將這兩個要求合併成一個方程：在一個線性系統中，輸入為 $a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)$，則輸出為 $a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)$。

可加性

如果輸入的總和導致輸出的總和，則稱該系統是可加的。 為了測試可加性，我們需要建立兩個任意輸入，x₁(t) 和 x₂(t)。 然後我們使用這些輸入來產生兩個相應的輸出

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

$y_{2}(t)=f(x_{2}(t))$

現在，我們需要對輸入進行求和，並證明系統輸出是先前輸出的總和

$y_{1}(t)+y_{2}(t)=f(x_{1}(t))+f(x_{2}(t))$

如果這種最終關係 **不適用於所有可能的輸入**，那麼該系統 **不是可加的**。

齊次性

與可加性類似，如果縮放後的輸入（乘以常數）會導致縮放後的輸出，則系統是齊次的。如果我們有兩個系統輸入

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

$y_{2}(t)=f(x_{2}(t))$

其中

$x_{1}(t)=cx_{2}(t)$

其中 *c* 是任意常數。如果是這種情況，那麼如果

$y_{1}(t)=cy_{2}(t)$

對於任何任意 *c*。

時間不變性

如果輸入訊號 *x(t)* 產生輸出 *y(t)*，那麼任何時間平移的輸入 *x(t + δ)* 都會導致時間平移的輸出 *y(t + δ)*。

如果系統的傳遞函式不是時間的函式（除了由輸入和輸出表示），則可以滿足此屬性。

示例：簡單時間不變性

為了演示如何確定系統是否時間不變，請考慮以下兩個系統

• 系統 A：$y(t)=t\,x(t)$
• 系統 B：$\,\!b(t)=10x(t)$

由於系統 A 明確依賴於 *t*（除了 *x(t)* 和 *y(t)*），所以它 **隨時間變化**。但是，系統 B 不明確依賴於 *t*，因此它是時間不變的（假設 *x(t)* 是時間不變的）。

示例：正式證明

現在對上面系統 A 和系統 B 分別是隨時間變化和時間不變的進行了更正式的證明。為了進行此證明，將使用時間不變性的第二個定義。

系統 A

從輸入的時間平移開始 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

現在用 δ 描述時間平移的輸出

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

顯然 $y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$，因此該系統 **不是時間不變的**。

系統 B

從輸入的時間平移開始 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

現在將輸出時間平移 δ

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

很明顯，$y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$，因此該系統是時不變的。

線性時不變（LTI）系統

如果一個系統同時滿足線性性質和時不變性質，則該系統是線性時不變（LTI）的。本書幾乎完全研究 LTI 系統，因為它們是最容易處理的系統，並且是分析和設計的理想系統。

其他函式性質

除了線性或時不變之外，我們還可以識別出函式的一些其他性質。

記憶

如果系統輸出依賴於系統的過去輸入（或未來輸入），則稱該系統具有記憶。如果輸出僅依賴於當前輸入，則稱為無記憶系統。無記憶系統更容易處理，但具有記憶的系統在數字訊號處理應用中更為常見。

因果性

因果性與記憶非常類似。如果系統僅依賴於過去或當前輸入，則稱該系統為因果系統。如果系統的輸出依賴於未來的輸入，則稱該系統為非因果系統。大多數實際系統都是因果的。

穩定性

穩定性是系統中一個非常重要的概念，但它也是最難證明的函式性質之一。系統穩定性有幾個不同的標準，但最常見的要求是，系統在受到有限輸入時必須產生有限輸出。例如，如果我們在給定電路的輸入端施加 5 伏電壓，我們希望電路輸出不趨於無窮大，並且電路本身不會熔化或爆炸。這種穩定性通常稱為“有界輸入，有界輸出”穩定性，或 BIBO。

研究 BIBO 穩定性是一個相對複雜的學習過程，後面關於電子工程的書籍將嘗試涵蓋該主題。

線性運算元

滿足線性性質的數學運算元稱為線性運算元。以下是一些常見的線性運算元

1. 導數
2. 積分
3. 傅立葉變換

示例：線性函式

確定以下兩個函式是否為線性函式

1. $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)dt$
2. $y(t)={\frac {d}{dt}}x(t)$

衝激響應

衝激響應告訴我們系統在受到衝激訊號（也稱為狄拉克δ函式）衝擊時如何反應。這種衝激響應是分析系統行為的一個非常重要的術語。

零輸入響應

$x(t)=u(t)$

$h(t)=e^{-x}u(t)$

零狀態響應

零狀態響應是指穩態響應或強迫響應。這是系統對輸入 f(t) 的響應 y(t)，當系統處於零狀態時；也就是說，當所有初始條件都為零時。

二階解

• 示例。求驅動 RLC 電路的總響應。

卷積

可以使用以下 MATLAB 命令來執行此操作

conv

卷積（摺疊在一起）是一個複雜的操作，涉及將兩個訊號一起積分、相乘、相加和時間偏移。

兩個函式a和b的卷積a * b定義為函式

$(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

希臘字母τ（tau）用作積分變數，因為字母t已經使用過了。τ用作“啞變數”，因為我們僅用它來計算積分。

在卷積積分中，所有對t的引用都用τ替換，除了函式b的引數中的-t。函式b透過將τ改為-τ來時間反轉。在圖形上，此過程將y軸右側的所有內容移動到左側，反之亦然。時間反轉將函式變為其自身的映象。

接下來，函式b透過變數t來時間偏移。記住，一旦我們用τ替換所有內容，我們就現在在tau域中計算，而不是像以前那樣在時間域中計算。因此，t可用作偏移引數。

我們將兩個函式相乘，同時進行時間偏移，並在每個點取所得曲線的面積。兩個函式的重疊量逐漸增加，直到某個“分水嶺”，之後兩個函式的重疊量逐漸減少。在t域中，兩個函式重疊的地方，卷積操作有一個值。如果一個（或兩個）函式在任何給定範圍內不存在，則卷積操作在該範圍內的值將為零。

積分完成後，定積分將變數t重新代入變數τ的剩餘引用中，我們又得到了一個t的函式。重要的是要記住，所得函式將是兩個輸入函式的組合，並將共享兩個函式的一些屬性。

卷積的性質

卷積函式滿足某些條件

交換律

$f*g=g*f\,$

結合律

$f*(g*h)=(f*g)*h\,$

分配律

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\,$

與標量乘法結合

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,$

對於任何實數（或複數）a。

微分規則

$(f*g)'=f'*g=f*g'\,$

示例 1

使用（a）卷積方程的積分表示和（b）拉普拉斯域中的乘法，找出以下兩個訊號x(t)和y(t)的卷積z(t)。

訊號y(t)只是Heaviside step，u(t)。

訊號x(t)由以下無限正弦曲線x₀(t)和視窗函式x_w(t)給出

$x_{0}(t)=\sin(t)\,$

$x_{w}(t)=u(t)-u(t-2\pi )\,$

因此，我們要執行的卷積是

$z(t)=x(t)*y(t)\,$

$z(t)=\sin(t)\left[u(t)-u(t-2\pi )\right]*u(t)\,$

$z(t)=\left[\sin(t)u(t)-\sin(t)u(t-2\pi )\right]*u(t)\,$

根據分配律

$z(t)=\sin(t)u(t)*u(t)-\sin(t)u(t-2\pi )*u(t)\,$

相關性

可以使用以下 MATLAB 命令來執行此操作

xcorr

類似於卷積，有一種稱為“相關性”的技術，它將兩個時域函式組合成一個時域結果函式。相關性不像卷積對我們的研究那麼重要，但它有一些有用的特性。

兩個函式g(t)和h(t)的相關性定義如下

$R_{gh}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t+\tau )d\tau$

其中大寫R是相關性運算子，R的下標是相關性運算的引數。

我們立即注意到相關性與卷積相似，只是我們在進行移位和積分之前沒有對第二個引數進行時間反轉。因此，我們可以用卷積來定義相關性，如下所示

$R_{gh}(t)=g(t)*h(-t)$

相關性的應用

相關性在很多地方都有應用，因為它證明了一個重要的結論：相關性決定了兩個引數函式之間的相似程度。相關曲線下的面積越大，兩個訊號之間的相似度就越高。

自相關性

當一個函式與其自身相關時，術語“自相關性”就是該操作的名稱。當相關性運算子的兩個下標相同時，表示自相關性

$R_{xx}(t)=x(t)*x(-t)$

雖然將一個函式與其自身進行相關性似乎很荒謬，但自相關性有很多用途，這些用途將在後面討論。自相關性滿足幾個重要的性質

1. 自相關性的最大值總是在t = 0處出現。當t趨於無窮大時，該函式始終減小，保持不變或波動（如果訊號是週期性的）。
2. 自相關性關於x軸對稱。

互相關性

互相關性是指所有不屬於“自相關性”的相關性。一般來說，當相關性的函式引數不相等時，就會發生互相關性。互相關性用於查詢兩個訊號之間的相似性。

$R_{gh}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t+\tau )d\tau$

示例：雷達

雷達（無線電探測和測距）是一種利用電磁波脈衝來確定遠處物體位置的系統。雷達透過發出訊號，然後監聽回聲來工作。如果範圍內有物體，訊號會從該物體上反射回來，回到雷達站。然後，雷達將對兩個訊號進行互相關性，即傳送訊號和接收訊號。互相關訊號中的尖峰表明存在物體，尖峰的位置表明經過了多少時間（因此表明物體距離多遠）。