訊號與系統/時域分析/系統響應

示例 1

考慮以下驅動的 RLC 電路。確定電路中的電流 y(t)，給定輸入為 $x(t)=8e^{-2t}$。初始電流為 0A，電容器兩端的初始電壓為 2V。

建立微分方程

回顧電感器、電阻器和電容器兩端的電壓與電流的關係如下：

$v_{L}=L{\frac {di}{dt}}$

$v_{R}=iR\,$

$v_{C}={\frac {1}{C}}\int i\,dt$

根據基爾霍夫電壓定律，我們得到迴路方程，將 i 替換為 y(t)

$x(t)=L{\frac {dy(t)}{dt}}+Ry(t)+{\frac {1}{C}}\int y(t)\,dt$

對 t 求導，我們得到：

${\dot {x}}(t)=L{\ddot {y}}(t)+R{\dot {y}}(t)+{\frac {1}{C}}y(t)$

代入值，得到描述該系統的微分方程：

${\dot {x}}(t)={\ddot {y}}(t)+4{\dot {y}}(t)+3y(t)$

我們想把它寫成以下形式：

$Q(D)y(t)=P(D)x(t)\,$

[系統方程]

$\left(D^{2}+4D+3\right)y(t)=Dx(t)\,$

現在我們有了方程，就可以開始求響應了。

零輸入響應

零輸入響應（ZIR）是電路在輸入為零時的行為。因此，要解的微分方程為：

[零輸入微分方程]

$\left(D^{2}+4D+3\right)y(t)=0$

我們期望在這裡看到的是電容器透過電阻器和電感器放電其初始電荷，這受初始條件的影響。元件值的比率將決定阻尼。讓我們先看一下這個，瞭解一下電路的行為。

該方程也可以寫成：

$\left(D^{2}+2\zeta \omega _{0}D+\omega _{0}^{2}\right)y(t)=0$,

其中ζ 是阻尼比，ω₀ 是諧振頻率，在微分方程中可以找到，它是多項式中的常數項

$\omega _{0}={\sqrt {3}}\,{\mbox{rad/s}}$

因此，我們可以解出ζ

$2\zeta \omega _{0}=4\,$

$\zeta ={\frac {4}{2{\sqrt {3}}}}\approx 1.15$

因此，該系統是過阻尼的，所以我們預計看到電流上升和衰減到零，沒有振盪。

初始條件

在計算零輸入響應（ZIR）之前，還需要考慮初始條件。我們從問題中知道初始電流為零。但是，電流的導數沒有明確給出。然而，電容器兩端的電壓是已知的，所以我們可以回到迴路電壓方程

$x(t)=v_{L}+v_{R}+v_{C}\,$

我們知道輸入為零，電容器兩端有 2V 電壓。此外，由於電流為零，電阻器兩端電流也為零。因此

$0=v_{L}+0+2\,$

$v_{L}=-2\,{\mbox{V}}$

電感器兩端的電壓與電流的導數相關聯

$v_{L}=L{\dot {y}}_{0}(t)$

${\dot {y}}_{0}(t)=-2$

現在我們有了足夠的初始條件

[零輸入初始條件]

$y_{0}(t)=0;\quad {\dot {y}}_{0}(t)=-2$

求解微分方程

特徵方程為

$\lambda ^{2}+4\lambda +3=0\,$

$(\lambda +1)(\lambda +3)=0\,$

我們得到了特徵根

$\lambda _{1}=-1;\quad \lambda _{2}=-3$

通解是

$y_{0}(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-3t}\,$

應用初始條件

$y_{0}(0)=0=c_{1}+c_{2}\,$

${\dot {y}}_{0}(0)=-2=-c_{1}-3c_{2}\,$

求解這些聯立方程，得到

$c_{1}=-1;\quad c_{2}=1$

零輸入響應現在是

[零輸入響應]

$y_{0}(t)=-e^{-t}+e^{-3t}\,$

單位衝激響應

為了找到單位輸入響應，h(t)，我們考慮與上面的零輸入情況相同的微分方程，但是我們將電路的所有值（電流和電壓）都設為零。為此，我們指定以下初始條件，以找到系統特徵模式的總和，y_n(t)。

[單位衝激初始條件]

$y_{0}(t)=0;\quad {\dot {y}}_{0}(t)=1\,$

通用解與之前相同

通解是

$y_{n}(t)=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-3t}\,$

但是，求解係數會得到不同的特解

$c_{1}={\frac {1}{2}};\quad c_{2}=-{\frac {1}{2}}$

$y_{n}(t)={\frac {1}{2}}e^{-t}-{\frac {1}{2}}e^{-3t}$

現在，回想一下，描述電路的原始微分方程在右手邊有一個微分運算元，P(D)，作用於輸入。因為我們現在應用了一個輸入，所以我們必須考慮這一點。這是透過將其應用於y_n(t)來實現的。在本例中，它是一個單導數。其結果就是單位衝激響應。

$h(t)=P(D)y_{n}(t)\,$

$h(t)=(D)y_{n}(t)\,$

[單位衝激響應]

$h(t)=-{\frac {1}{2}}e^{-t}+{\frac {3}{2}}e^{-3t}$

請注意，這在t=0時不為零，這似乎與我們的條件相矛盾。但是，由於單位衝激持續了無限短的時間，電路必須立即“跳躍”到不同的總能量，否則它永遠不會被衝激激發。在現實生活中，一個有限持續時間的訊號會導致電路逐漸上升，而不是跳躍。

零狀態響應

零狀態響應，y_s(t) 是初始鬆弛電路對輸入x(t) 的響應。這可以透過單位衝激響應和輸入的卷積來求得

$y_{s}(t)=h(t)*x(t)\,$

根據卷積的定義

$y_{s}(t)=\int _{0}^{t}h(\tau )x(t-\tau )\,d\tau$

$y_{s}(t)=\int _{0}^{t}\left(-{\frac {1}{2}}e^{-\tau }+{\frac {3}{2}}e^{-3\tau }\right)\left(8e^{-2(t-\tau )}\right)\,d\tau$

乘以整個式子

$y_{s}(t)=\int _{0}^{t}\left(-4e^{-\tau }e^{-2(t-\tau )}+12e^{-3\tau }e^{-2(t-\tau )}\right)\,d\tau$

$y_{s}(t)=\int _{0}^{t}\left(-4e^{-\tau }e^{2\tau }e^{-2t)}+12e^{-3\tau }e^{2\tau }e^{-2t)}\right)\,d\tau$

因為積分是關於τ 的，所以我們可以將t 項提出來

$y_{s}(t)=e^{-2t}\int _{0}^{t}\left(-4e^{-\tau }e^{2\tau }+12e^{-3\tau }e^{2\tau }\right)\,d\tau$

$y_{s}(t)=e^{-2t}\int _{0}^{t}\left(-4e^{\tau }+12e^{-\tau }\right)\,d\tau$

$y_{s}(t)=e^{-2t}\left[-4e^{\tau }-12e^{-\tau }\right]_{0}^{t}$

$y_{s}(t)=e^{-2t}\left(-4e^{t}-12e^{-t}+4+12\right)$

最後，乘以整個式子併合並指數項，我們就得到了零狀態響應

[零狀態響應]

$y_{s}(t)=-4e^{-t}+16e^{-2t}-12e^{-3t}\,$

請注意，電流在 *t*=0 時再次變為零。對於任何實際訊號，由於電感不允許電流發生階躍變化，這種情況都會發生。

總響應

總響應由零輸入和零狀態分量的總和給出

$y_{t}(t)=y_{0}(t)+h(t)*x(t)\,$

$y_{t}(t)=-e^{-t}+e^{-3t}-4e^{-t}+16e^{-2t}-12e^{-3t}\,$

[總響應]

$y_{t}(t)=-5e^{-t}+16e^{-2t}-11e^{-3t}\,$

我們可以將零輸入、零狀態、單位脈衝和總響應一起繪製