靜力學/力作為向量

讀物

向量，第 1.1 - 1.7 章

標量、向量和力

標量

標量是一個只具有大小的量。例如質量、體積和長度。在本教材中，標量用斜體字母表示：$A$。標量可以透過簡單代數運算進行操作。

向量

向量是一個既有大小又有方向的量。例如速度、位置和力。在本教材中，向量用帶箭頭的字母表示：${\vec {A}}$。向量運算使用向量數學，將在下一節中詳細介紹。

向量和標量量的示例

速度與速度

考慮一輛以每小時 110 公里的速度向南行駛的汽車。

我們可以將汽車的運動描述為一個速度，大小為每小時 110 公里，方向為南。速度是一個向量，因為它指示大小和方向。

汽車的運動也可以描述為一個標量，即速度為每小時 110 公里，忽略方向。速度是一個標量，因為它只包含大小。

力

外力是一個既有大小又有方向的向量量。

考慮一個懸停在農民田地上方，高度保持不變的熱氣球。熱氣球上的浮力將氣球向上推。同時，重力作用於氣球，將氣球向下拉。

浮力和重力作用在相反的方向。如果它們的大小相同，氣球將保持懸停在相同的高度。如果浮力大於重力，氣球將上升。如果重力大於浮力，氣球將下降。

向量表示（二維）

力，以及任何其他向量，都可以用多種方式表示。

圖形化

向量可以用箭頭圖形化表示。向量的長度對應於向量的長度，向量的方向對應於箭頭與座標軸之間的角度。箭頭指示了方向的意義。但當一個向量改變方向時，單位將變為 10 倍

極座標表示法

在極座標表示法中，向量用向量的大小表示，$r$，以及它與座標軸的夾角，$\theta$，形式為

${\vec {A}}=r\angle \theta$

或

${\vec {A}}=(r,\theta )$

分量表示法

在分量表示法中，向量用向量在座標軸上的分量的大小表示。

標量表示法

向量的分量表示為標量值，如果其方向與座標軸相同，則為正值；如果其方向與座標軸相反，則為負值。對於一個具有正x分量和負y分量的向量

${\vec {A}}=A_{x}+(-A_{y})=A_{x}-A_{y}$

笛卡爾座標表示法

向量的分量表示為正標量值乘以笛卡爾單位向量。笛卡爾單位向量是大小為 1 的向量，表示座標軸的方向。單位向量 ${\hat {i}}$ 表示x軸，單位向量 ${\hat {j}}$ 表示y軸。向量的方向由單位向量的符號指示。對於一個具有正x分量和負y分量的向量

${\vec {A}}=A_{x}{\hat {i}}+A_{y}(-{\hat {j}})=A_{x}{\hat {i}}-A_{y}{\hat {j}}$

或

${\vec {A}}=\langle A_{x},-A_{y}\rangle$

力作為向量

在工程靜力學中，我們經常將力轉換為分量表示法。用分量替換力，可以更容易地計算作用在物體上的多個力的合力。將力從極座標轉換為分量表示法可以透過以下變換完成

對於力 ${\vec {F}}=F\angle \alpha =F_{x}+F_{y}$

$F_{x}\ =F\cos \alpha$

$F_{y}\ =F\sin \alpha$

$F\ ={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}$

$\alpha \ =\arctan {\frac {F_{y}}{F_{x}}}$

示例 1

左邊的圖表顯示了 30 度力，右邊的圖表顯示瞭如何將 30 度力分離為 X 和 Y 分量

考慮一個力，${\vec {F}}$，大小為 $F$，為 100 N，作用在x-y平面上。該力相對於x軸的角度為 $\alpha$，為 30 度。該力在分量表示法中如何表示？

我們可以用一對沿x軸和y軸作用的力來替換該力，如下所示。

$F_{x}=F\cos \alpha =100cos(30)\ =86.6N$

$F_{y}=F\sin \alpha =100sin(30)\ =50.0N$

示例 2

兩個作用在 *x-y* 平面上的力作用在一個點上。第一個力是 100 N，角度為 0 度。第二個力是 50 N，角度為 60 度。合力是多少？

首先，將力分解為它們的 *x* 和 *y* 分量。

$F_{1x}=F_{1}\cos(A)\ =100cos(0)=100$

$F_{1y}=F_{1}\sin(A)\ =100sin(0)=0$

$F_{2x}=F_{2}\cos(B)\ =50cos(60)=25$

$F_{2y}=F_{2}\sin(B)\ =50sin(60)=43.3$

將所有 *x* 方向上的力相加。

$F_{x}=F_{1x}+F_{2x}\ =100+25=125$

將所有 *y* 方向上的力相加。

$F_{y}=F_{1y}+F_{2y}\ =0+43.3=43.3$

最後，將合力分量轉換回極座標表示。

${\sqrt {\left(\vert F_{x}\vert ^{2}+\vert F_{y}\vert ^{2}\right)}}=132.3$

$\theta \ =\arctan \left({\frac {F_{y}}{F_{x}}}\right)=19.1^{\circ }$

合力為 132.3 N，角度為 19.1 度。

敬請期待！

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