統計/分佈/伯努利

沒有比拋硬幣更基本的隨機事件了。正面或反面。它簡單到不能再簡單了！“伯努利試驗”指的是一個可以有兩個可能結果的單個事件，每個結果發生的機率是固定的。您可以將這些事件描述為“是或否”問題。例如

伯努利分佈只有一個控制引數：成功的機率。一個“公平的硬幣”或成功和失敗同樣可能的實驗的機率將是 0.5 (50%)。通常變數p用於表示此引數。

如果一個隨機變數X以引數 p 的伯努利分佈分佈，我們將其機率質量函式寫為

f(x)={\begin{cases}p,&{\mbox{if }}x=1\\1-p,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}\quad 0\leq p\leq 1

其中事件X=1代表“是”。

這種分佈可能看起來很瑣碎，但它仍然是機率中非常重要的基石。二項分佈將伯努利分佈擴充套件到涵蓋多個“是”或“否”情況，並具有固定機率。仔細觀察上面引用的示例。下一節將提出一些類似的問題，這些問題可能會讓人瞭解這些分佈是如何相關的。

可以推匯出平均值 (E[X])

\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}

\operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0

\operatorname {E} [X]=p\,

\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot (x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}

\operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot (0-p)^{2}

\operatorname {Var} (X)=[p(1-p)+p^{2}](1-p)\,

\operatorname {Var} (X)=p(1-p)\,

伯努利
引數	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
支援	$k=\{0,1\}\,$
PMF	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\q&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}$
均值	$p\,$
中位數	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
眾數	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
方差	$p(1-p)\,$
偏度	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
峰度	${\frac {1-6pq}{pq}}$
熵	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
MGF	$q+pe^{t}\,$
CF	$q+pe^{it}\,$
PGF	$q+pz\,$
費舍爾資訊	${\frac {1}{p(1-p)}}$