統計/分佈

最近的 SAT 考試結果如何？尚比亞 21 歲以下女性的平均身高是多少？工程學院的大學生與文科學院的大學生的啤酒消費量如何比較？

為了回答這些問題，我們會收集資料並將其整理成易於總結、視覺化和討論的形式。從寬泛的角度來看，資料的收集和聚合會形成一個分佈。分佈通常以直方圖或表格的形式出現。這樣，我們就可以立即“看到”資料並開始我們的科學探究。

例如，如果我們想更多地瞭解學生在 SAT 上的最新表現，我們會從 ETS 收集 SAT 成績，以適合我們的方式進行整理，然後形成這些成績的分佈。結果可能是一個數據表格，也可能是一個圖。無論如何，一旦我們“看到”資料，我們就可以開始提出更多關於資料的有趣研究問題。

我們建立的分佈通常與數學生成的分佈平行。例如，如果我們獲得所有高中生的身高並將這些資料繪製成圖，該圖可能類似於正態分佈，正態分佈是透過數學生成的。然後，我們可以簡單地使用正態分佈來近似所有高中生的身高，而無需費力地收集所有高中生的身高，並且不會損失太多精度。

在統計學研究中，我們關注數學分佈，為了簡單起見，也為了與現實世界相關。理解這些分佈將使我們能夠更輕鬆地視覺化資料並更快地構建模型。但是，它們不能也不能取代手動資料收集和生成實際資料分佈的工作。

某個範圍內的百分比是多少？分佈顯示了資料在某個範圍內的百分比。因此，給定一個分佈和一組值，我們可以確定資料落在某個範圍內的機率。

如果將相同的資料放在不同的分佈上，可能會得出不同的結論。因此，在所有統計分析中，將資料放在正確的分佈上至關重要。

分佈

一些分佈的比較

**一些分佈**
名稱	符號	公式	符號	用途	連續/離散	筆記
伯努利	f(x)=	$p^{x}(1-p)^{1-x}$	p x	2 個結果	離散	1 次試驗
二項式	b(x;n, p)=	${n \choose k}{p^{k}(1-p)^{n-k}}$	n 次試驗 k 次成功 p 機率	成功次數特定機率非隨機	離散
泊松	P(x)=	${\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{x}}{x!}}$	$\mu =\lambda t$ $\sigma ^{2}=\lambda t$	結果/時間結果/區域	離散
超幾何	h(x;N,n,k) =	${{{k \choose x}{{N-k} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}$	n 個樣本來自 N 個專案 N 個專案中的 k 個是成功， N-k 個是失敗	成功發生 X 次與位置無關是隨機的	離散	不放回抽樣
多元超幾何	$h(x_{1},x_{2}...,x_{k};a_{1},a_{2},...a_{k},N,n){=}$	${a_{1} \choose x_{1}}{a_{2} \choose x_{2}}\dots {a_{k} \choose x_{k}} \over {N \choose n}$	樣本量 N 個專案 k 個單元格 $A_{1}\dots A_{k}$ 每個單元格包含 $a_{1}\dots a_{k}$ 個元素		離散	不放回抽樣
正態分佈	$\int _{a}^{b}n(x;\mu ,\sigma ){=}$	$Z{=}{\frac {x-\mu }{\sigma }}$	x $\mu$ 平均值 $\sigma$ 標準差	: ${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$	連續型	Z 是一個隨機變數，具有 $\mu {=}0and\sigma ^{2}{=}1$
卡方分佈	$\chi ^{2}{=}$	${\frac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}$	$S^{2}$ 是從具有方差為 $\sigma ^{2}$ 的正態總體中抽取的樣本量的方差	隨機樣本的方差與總體的關係	連續型
學生 t 分佈	T =	${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$	${\bar {X}}$ 是大小為 n 的隨機樣本的平均值	如果不知道 $\sigma$	連續型	v=n-1
F	F=	${\frac {\sigma _{2}^{2}S_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}S_{2}^{2}}}{=}{\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}$	連續型