統計/分佈/學生 t 分佈

學生 t 分佈（簡稱 t 分佈）是從卡方分佈和正態分佈推匯出來的。我們將一個變數的標準正態分佈值除以一個卡方值的平方根，該卡方值除以其 r 個自由度。數學上，這將顯示為

$t={\frac {\mbox{Z}}{\sqrt {\chi _{r}^{2}/r}}}$

其中 $Z={\frac {X-{\bar {X}}}{\sigma }}$ 和 $\chi _{r}^{2}=\chi _{r_{1}}^{2}+...+\chi _{r_{n}}^{2}$ .

學生 t
機率密度函式
累積分佈函式
引數	ν > 0 自由度 (實數)
支援	x ∈ (−∞; +∞)
PDF	$\textstyle {\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!$
CDF	${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}$ 其中₂F₁是超幾何函式
平均值	當 ν > 1 時為 0，否則未定義
中位數	0
眾數	0
方差	$\textstyle {\frac {\nu }{\nu -2}}$ 當 ν > 2 時，當 1 < ν ≤ 2 時為 ∞，否則未定義
偏度	當 ν > 3 時為 0，否則未定義
超峰度	$\textstyle {\frac {6}{\nu -4}}$ 當 ν > 4 時，當 2 < ν ≤ 4 時為 ∞，否則未定義
熵	...
MGF	未定義
CF	$\textstyle {\frac {K_{\nu /2}\left({\sqrt {\nu }}\|t\|)({\sqrt {\nu }}\|t\|\right)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}}$ 當 ν > 0 時 $K_{\nu }$ (x): 貝塞爾函式^[1]