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負二項分佈

就像伯努利分佈和二項分佈在計算 1 次或多次試驗中的成功次數方面相關聯一樣，幾何分佈和負二項分佈在獲取 1 次或多次成功的試驗次數方面相關聯。

負二項分佈是指在達到固定數量的期望結果之前，需要執行某件事的次數的機率。例如

• 我需要擲多少次硬幣才能得到第 10 次正面？
• 我需要生幾個孩子才能得到第三個女兒？
• 我需要從一副牌中抽多少張牌才能得到第二張小丑？

與 二項分佈 相似，負二項分佈有兩個控制引數：任何獨立測試的成功機率 p 和期望的成功次數 m。如果隨機變數 X 具有引數為 p 和 m 的負二項分佈，則它的 機率質量函式 為

$P(X=n)={n-1 \choose m-1}p^{m}(1-p)^{n-m}{\mbox{, for }}n\geq m$.

示例

一名推銷員如果在當天賣出 3 本百科全書，就會回家。有些日子他很快就賣掉了。其他日子他到晚上很晚才回來。如果他平均每拜訪 10 戶人家就能賣出一本百科全書，那麼他在只拜訪了 10 戶人家後回家的機率是多少？

答案

試驗次數 X 服從引數為 p=0.1 和 m=3 的負二項分佈，因此

$P(X=10)={9 \choose 2}0.1^{3}0.9^{7}=0.0172186884$.

均值

均值可以如下推導。

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}=\sum _{x=0}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]={0+r-1 \choose r-1}p^{0}\left(1-p\right)^{r}\cdot 0+\sum _{x=1}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]=0+\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over (r-1)!x!}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x$

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over r!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{r+1}$

現在在求和中設 *s = r+1* 和 *w=x-1*。

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{(w+s-1)! \over (s-1)!w!}p^{w}(1-p)^{s}$

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}$

我們可以看到，求和是關於服從 NB(s,p) 分佈的負二項式隨機變數的完整機率質量函式的求和，該求和結果為 1（可以透過應用 牛頓廣義二項式定理 來驗證）。

$\operatorname {E} [X]={rp \over 1-p}$

方差

我們使用以下公式推匯出方差

$\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}$

我們已經計算了上面的 E[X]，所以現在我們將計算 E[X²]，然後回到這個方差公式

$\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x^{2}=\sum _{x=0}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}\cdot x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]=0+\sum _{x=1}^{\infty }{x+r-1 \choose r-1}p^{x}(1-p)^{r}x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over (r-1)!x!}p^{x}(1-p)^{r}x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{x=1}^{\infty }{(x+r-1)! \over r!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{r+1}x$

再次，令 s = r+1 和 w=x-1。

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{(w+s-1)! \over (s-1)!w!}p^{w}(1-p)^{s}(w+1)$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}(w+1)$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\left[\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}w+\sum _{w=0}^{\infty }{w+s-1 \choose s-1}p^{w}(1-p)^{s}\right]$

第一個求和是服從 NB(s,p) 分佈的負二項式隨機變數的均值，第二個求和是該變數的機率質量函式的完全求和。

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp \over 1-p}\left[{sp \over 1-p}+1\right]$

$\operatorname {E} [X^{2}]={rp(1+rp) \over (1-p)^{2}}$

現在我們將值代入原始方差公式。

$\operatorname {Var} [X]={rp(1+rp) \over (1-p)^{2}}-\left({rp \over 1-p}\right)^{2}$

$\operatorname {Var} [X]={rp \over (1-p)^{2}}$