統計/分佈/離散均勻

離散均勻分佈

離散均勻分佈（不要與連續均勻分佈混淆）是指等間距可能值的機率相等。在數學上，這意味著機率密度函式對於有限集中的等間距點是相同的。例如，擲一個公平的六面骰子。在這種情況下，有六個同樣可能的機率。

一種常見的規範化是將可能值限制為整數，並將可能性之間的間距限制為 1。在這種設定中，該函式的唯一兩個引數是最小值（a），最大值（b）。（有些人甚至將其進一步規範化，設定a=1。）令n=b-a+1為可能性的數量。然後機率密度函式為

$f\colon \{a,a+1,\ldots ,b-1,b\}\to \mathbb {R}$

$f\left(x\right)={\frac {1}{n}}$

平均值

令 $S=\{a,a+1,\ldots ,b-1,b\}$. 然後平均值（表示為 $\operatorname {E} [X]$）可以推匯出如下

$\operatorname {E} [X]=\sum _{x\in S}xf(x)=\sum _{i=0}^{n-1}\left({\frac {1}{n}}(a+i)\right)$

$\operatorname {E} [X]={1 \over n}\left(\sum _{i=0}^{n-1}a+\sum _{i=0}^{n-1}i\right)$

記住，在 $\sum _{i=0}^{m}i=(m^{2}+m)/2$

$\operatorname {E} [X]={1 \over n}\left(na+{(n-1)^{2}+(n-1) \over 2}\right)$

$\operatorname {E} [X]={2na+n^{2}-2n+1+n-1 \over 2n}$

$\operatorname {E} [X]={2a+n-1 \over 2}$

$\operatorname {E} [X]={a+b \over 2}$

方差

方差 ($E[(X-EX)^{2}]$) 可以推匯出

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{x\in S}f(x)(x-E[X])^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\left((a+i)-{a+b \over 2}\right)^{2}\right)$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over n}\sum _{i=0}^{n-1}\left({a+2i-b \over 2}\right)^{2}$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\sum _{i=0}^{n-1}(a^{2}+4ai-2ab+4i^{2}-4ib+b^{2})$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[\sum _{i=0}^{n-1}(a^{2}-2ab+b^{2})+\sum _{i=0}^{n-1}(4ai-4ib)+\sum _{i=0}^{n-1}4i^{2}\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(a^{2}-2ab+b^{2})+4(a-b)\sum _{i=0}^{n-1}i+4\sum _{i=0}^{n-1}i^{2}\right]$

記住在 $\sum _{i=0}^{m}i^{2}=m(m+1)(2m+1)/6$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(b-a)^{2}+4(a-b)[(n-1)n/2]+4[(n-1)n(2n-1)/6]\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4n}\left[n(n-1)^{2}-2(n-1)(n-1)n+2(n-1)n(2n-1)/3\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 4}\left[-(n-1)^{2}+2(n-1)(2n-1)/3\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 12}\left[-3(n-1)^{2}+2(n-1)(2n-1)\right]$

$\operatorname {Var} (X)={1 \over 12}\left[-3(n^{2}-2n+1)+2(2n^{2}-3n+1)\right]$

$\operatorname {Var} (X)={n^{2}-1 \over 12}$