統計/分佈/泊松

泊松
	機率質量函式; ; 橫軸是索引 k，即事件發生的次數。該函式僅在 k 的整數值上定義。連線線僅作為視覺參考。
	累積分佈函式; ; 橫軸是索引 k，即事件發生的次數。CDF 在 k 的整數值處不連續，而在其他地方則保持平坦，因為泊松分佈的變數僅取整數值。
符號
引數	λ > 0 (實數)
支援	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF
CDF	--或者-- (對於其中是不完全伽瑪函式並且是地板函式)
均值
中位數
眾數
方差
偏度
峰度
熵	(對於較大的) ;
矩生成函式 (MGF)
特徵函式 (CF)
機率生成函式 (PGF)

任何法語使用者都會注意到 "Poisson" 的意思是 "魚"，但這與這種分佈並沒有什麼關係。它實際上非常簡單。這個名字來自數學家西莫恩·德尼·泊松 (1781-1840)。

泊松分佈與二項分佈非常相似。我們正在考察事件發生的次數。區別很細微。二項分佈考察的是在固定次數的試驗中我們記錄了多少次成功，而泊松分佈測量的是在一段連續的空間或時間內，離散事件發生的次數。沒有一個 "總" 值 n。與之前的部分一樣，讓我們來考察幾個可能具有泊松性質的實驗或問題。

這個分佈有點不同的是，用來計數事件數量的隨機變數 X 可以取任何非負整數。換句話說，我回家後可能會發現街上沒有便士。我也可能會發現一枚便士。也有可能（雖然不太可能，除非附近發生裝甲車爆炸）我發現 10 個或 100 個或 10,000 個便士。

我們沒有像伯努利分佈和二項分佈中的引數 p 那樣代表一個組成機率，而是有一個引數 "lambda" 或 λ，它代表我們在實驗中 "平均或預期" 發生的事件數量。泊松分佈的機率質量函式由下式給出：

P(N=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}

.

我們經營一家餐廳，我們的招牌菜（非常昂貴）平均每天被點 4 次。明天這道菜被點 3 次的機率是多少？如果我們只有準備 3 道菜的食材，那麼這道菜賣光的機率是多少，我們需要拒絕一些訂單？

如果我們在上面的等式中設定 k=3，就可以得到這道菜恰好被點 3 次的機率。記住我們已經確定平均每天賣出 4 道菜，所以 λ=4。

P(N=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}={\frac {e^{-4}4^{3}}{3!}}=0.195

以下是 k=0..6 所有值的機率表

現在最大的問題是：我們明天結束營業前會賣光食物嗎？換句話說，我們想知道隨機變數 X 是否大於 3。為了計算這一點，我們需要將 X=4、X=5、X=6 ... 一直加到無窮大！但是等等，有一個更好的方法！

賣光食物的機率 P(X>3) 等於 1 減去我們沒有賣光食物的機率，或者 1-P(X≤3)。所以如果我們把我們賣出零道菜、一道菜、兩道菜和三道菜的機率加起來，然後從 1 中減去，我們就得到了答案。所以，

1 - P(X≤3) = 1 - ( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) ) = 1 - 0.4335 = 0.5665

換句話說，我們有 56.65% 的機會賣光我們美味的招牌菜。我想我們只能祈禱了！

我們按以下方式計算平均值

\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}x

\operatorname {E} [X]={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{0}}{0!}}\cdot 0+\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}x

\operatorname {E} [X]=0+e^{-\lambda }\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {\lambda \lambda ^{x-1}}{(x-1)!}}

\operatorname {E} [X]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{x-1}}{(x-1)!}}

\operatorname {E} [X]=\lambda e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}

請記住 $\mathrm {e} ^{\lambda }=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{x}}{x!}}$

\operatorname {E} [X]=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }=\lambda

我們使用以下公式推匯出方差

\operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}

我們已經計算了上面的 E[X]，所以現在我們將計算 E[X²]，然後回到這個方差公式。

\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x^{2}

\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}x^{2}

\operatorname {E} [X^{2}]=0+\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda \lambda ^{x-1}}{(x-1)!}}x

\operatorname {E} [X^{2}]=\lambda \sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}(x+1)

....用

x+1

代替

x

\operatorname {E} [X^{2}]=\lambda \left[\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}x+\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}\right]

第一個求和是 E[X]=λ，第二個我們也在上面計算過是 1。

\operatorname {E} [X^{2}]=\lambda \left[\lambda +1\right]=\lambda ^{2}+\lambda

回到方差公式，我們發現

\operatorname {Var} [X]=(\lambda ^{2}+\lambda )-(\lambda )^{2}=\lambda

泊松
機率質量函式橫軸是索引 k，即事件發生的次數。該函式僅在 k 的整數值上定義。連線線僅作為視覺參考。
累積分佈函式橫軸是索引 k，即事件發生的次數。CDF 在 k 的整數值處不連續，而在其他地方則保持平坦，因為泊松分佈的變數僅取整數值。
符號	$\mathrm {Pois} (\lambda )\,$
引數	λ > 0 (實數)
支援	k ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }
PMF	${\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot e^{-\lambda }$
CDF	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!$ --或者-- $e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\$ (對於 $k\geq 0$ 其中 $\Gamma (x,y)\,\!$ 是不完全伽瑪函式並且 $\lfloor k\rfloor$ 是地板函式)
均值	$\lambda \,\!$
中位數	$\approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor$
眾數	$\lfloor \lambda \rfloor ,\,\lceil \lambda \rceil -1$
方差	$\lambda \,\!$
偏度	$\lambda ^{-1/2}\,$
峰度	$\lambda ^{-1}\,$
熵	$\lambda [1\!-\!\log(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ (對於較大的 $\lambda$ ) ${\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-$ ${\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O({\frac {1}{\lambda ^{4}}})$
矩生成函式 (MGF)	$\exp(\lambda (e^{t}-1))\,$
特徵函式 (CF)	$\exp(\lambda (e^{it}-1))\,$
機率生成函式 (PGF)	$\exp(\lambda (z-1))\,$