統計學/分佈/正態（高斯）

正態分佈

機率密度函式 紅色曲線是標準正態分佈
累積分佈函式
符號	${\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})$
引數	μ ∈ R — 平均值 (位置) σ2 > 0 — 方差 (平方 尺度)
支撐	x ∈ R
PDF	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
CDF	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}\right)\right]$
平均值	μ
中位數	μ
眾數	μ
方差	$\sigma ^{2}\,$
偏度	0
峰度	0
熵	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})$
MGF	$\exp\{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
CF	$\exp\{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}$
費舍爾資訊	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$

正態分佈毫無疑問是最廣泛使用的分佈。它也稱為高斯分佈。它假設觀測值集中在平均值μ附近，並且隨著我們離平均值越來越遠，這個值迅速衰減。傳播的度量由方差$\sigma ^{2}$量化。

一些應用示例：

• 如果平均男性身高為175釐米，方差為6釐米，那麼隨機發現的男性身高為183釐米的機率是多少？
• 如果平均男性身高為175釐米，方差為6釐米，而平均女性身高為168釐米，方差為3釐米，那麼平均男性身高低於平均女性身高的機率是多少？
• 如果假設罐頭有4克的方差，那麼平均重量需要是多少才能確保99%的罐頭重量至少為250克？

密度函式是

$f_{\mu ,\sigma }(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$

其中 $-\infty <x<\infty$.

並且累積分佈函式無法積分成單個表示式。

引數為 μ 和 σ 的正態分佈記為 $N(\mu ,\sigma )$. 如果隨機變數 X 服從期望值為 μ、標準差為 σ 的正態分佈，則記為：$\!\,X\sim N(\mu ,\sigma )$

機率質量函式

為了驗證 f(x) 是否是一個有效的 pmf，我們必須驗證 (1) 它在所有地方都非負，以及 (2) 它的總積分等於 1。第一個是顯而易見的，因此我們繼續驗證第二個。

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

現在令 $w={x-\mu \over \sigma {\sqrt {2}}}$. 我們看到 $dw={dx \over \sigma {\sqrt {2}}}$.

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}dw$

現在我們使用 高斯積分，即 $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}\,dw={\sqrt {\pi }}$

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\pi }}=1$

平均值

我們推匯出均值如下

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f(x)dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }x{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }[(x-\mu )+\mu ]{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu ){\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx+\int _{-\infty }^{\infty }\mu {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

$={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})\int _{-\infty }^{\infty }{-x+\mu \over \sigma ^{2}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx+\mu \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}dx$

現在我們可以看到右邊的積分是關於正態機率密度函式的完整積分。因此它等於 1。

$\operatorname {E} [X]={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})\left[e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\mu$

$={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}(-\sigma ^{2})[0-0]+\mu$

$=\mu$

方差

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-{E}[X])^{2}]=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}\cdot f(x)dx=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}dx$

我們令 $w={x-\mu \over \sigma {\sqrt {2}}}$

$\operatorname {Var} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }\sigma ^{2}2w^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-w^{2}}\sigma {\sqrt {2}}dw={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }w\cdot we^{-w^{2}}dw$

現在我們使用分部積分法，其中u=w且v=(-1/2)e^(-w^2)

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left(\left[w{-1 \over 2}e^{-w^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }{-1 \over 2}e^{-w^{2}}dw\right)$

我們可以看到，根據洛必達法則，括號內的項為零。

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left({1 \over 2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-w^{2}}dw\right)$

現在我們再次使用高斯積分

$\operatorname {Var} (X)={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}{1 \over 2}{\sqrt {\pi }}=\sigma ^{2}$

外部連結

• 互動式正態（高斯）分佈網路小程式（Java）