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超幾何分佈

超幾何分佈

機率質量函式
累積分佈函式
符號	$h(k)={{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
引數	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\m&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
支援	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,m)}\right\}}\,$
PMF	${{{m \choose k}{{N-m} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
CDF	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {m-k-1}}} \over {N \choose m}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-m,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-m-n\end{array}};1\right],$ 其中 $\,_{p}F_{q}$ 是 廣義超幾何函式
期望值	${nm \over N}$
中位數	模式 = $\left\lceil {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rceil -1,\left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor$
方差	${nm \over N}\left(1-{n \over N}\right)\left(1-{m-1 \over N-1}\right)$
偏度	${\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
峰度	$\left.{\frac {1}{nm(N-m)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6m(N-m)-6n(N-n){\Big )}+{}$ ${}+6nm(N-m)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
熵	???
矩生成函式	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
特徵函式	${\frac {{N-m \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

超幾何分佈描述了從包含 *m* 個成功的總體中，不放回地抽取 *n* 次後，成功次數的分佈情況。

它的機率質量函式為

$f(x)={{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}{\text{ for all }}x\in [0,n]$

從技術上講，函式的支援範圍僅在 *x∈[max(0, n+m-N), min(m, n)]* 處。在該範圍不為 *[0,n]* 的情況下，*f(x)=0*，因為對於 *k>0*，${0 \choose k}=0$.

機率密度函式

我們首先檢查 *f(x)* 是否是一個有效的機率質量函式。這要求它在任何地方都非負，並且它的總和等於 1。第一個條件是顯而易見的。對於第二個條件，我們將從 範德蒙德恆等式 開始

$\sum _{x=0}^{n}{a \choose x}{b \choose n-x}={a+b \choose n}$

$\sum _{x=0}^{n}{{a \choose x}{b \choose n-x} \over {a+b \choose n}}=1$

現在我們看到，如果 *a=m* 並且 *b=N-m*，那麼條件就滿足了。

期望值

我們推匯出平均值如下

$\operatorname {E} [X]=\sum _{x=0}^{n}x\cdot f(x;n,m,N)=\sum _{x=0}^{n}x\cdot {{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}$

$\operatorname {E} [X]=0\cdot {{{m \choose 0}{{N-m} \choose {n-0}}} \over {N \choose n}}+\sum _{x=1}^{n}x\cdot {{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}$

我們使用恆等式 ${\binom {a}{b}}={\frac {a}{b}}{\binom {a-1}{b-1}}$ 在分母中。

$\operatorname {E} [X]=0+\sum _{x=1}^{n}x\cdot {{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {{N \over n}{{N-1} \choose {n-1}}}}$

$\operatorname {E} [X]={n \over N}\sum _{x=1}^{n}x\cdot {{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {{N-1} \choose {n-1}}}$

接下來我們使用恆等式 $b{\binom {a}{b}}=a{\binom {a-1}{b-1}}$ 在分子中的第一個二項式中。

$\operatorname {E} [X]={n \over N}\sum _{x=1}^{n}{m{{m-1 \choose x-1}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {{N-1} \choose {n-1}}}$

接下來，對於和式中的變數，我們定義相應的比它們少一的素變數。所以 N′=N−1, m′=m−1, x′=x−1, n′=n-1.

$\operatorname {E} [X]={mn \over N}\sum _{x'=0}^{n'}{{{m' \choose x'}{{N'-m'} \choose {n'-x'}}} \over {{N'} \choose {n'}}}$

$\operatorname {E} [X]={mn \over N}\sum _{x'=0}^{n'}f(x';n',m',N')$

現在我們看到，這個和式是關於修改引數的超幾何分佈pmf的總和。它等於1。因此

$\operatorname {E} [X]={nm \over N}$

方差

我們首先確定 E(X²).

$\operatorname {E} [X^{2}]=\sum _{x=0}^{n}f(x;n,m,N)\cdot x^{2}=\sum _{x=0}^{n}{{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}\cdot x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]={{{m \choose 0}{{N-m} \choose {n-0}}} \over {N \choose n}}\cdot 0^{2}+\sum _{x=1}^{n}{{{m \choose x}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {N \choose n}}\cdot x^{2}$

$\operatorname {E} [X^{2}]=0+\sum _{x=1}^{n}{{m{m-1 \choose x-1}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {{N \over n}{{N-1} \choose {n-1}}}}\cdot x$

$\operatorname {E} [X^{2}]={mn \over N}\sum _{x=1}^{n}{{{m-1 \choose x-1}{{N-m} \choose {n-x}}} \over {{N-1} \choose {n-1}}}\cdot x$

我們使用與推導均值時相同的變數替換。

$\operatorname {E} [X^{2}]={mn \over N}\sum _{x'=0}^{n'}{{{m' \choose x'}{{N'-m'} \choose {n'-x'}}} \over {{N'} \choose {n'}}}(x'+1)$

$\operatorname {E} [X^{2}]={mn \over N}\left[\sum _{x'=0}^{n'}{{{m' \choose x'}{{N'-m'} \choose {n'-x'}}} \over {{N'} \choose {n'}}}x'+\sum _{x'=0}^{n'}{{{m' \choose x'}{{N'-m'} \choose {n'-x'}}} \over {{N'} \choose {n'}}}\right]$

第一個求和是具有引數 (n',m',N') 的超幾何隨機變數的期望值。第二個求和是該隨機變數的機率質量函式的總和。

$\operatorname {E} [X^{2}]={mn \over N}\left[{n'm' \over N'}+1\right]$

$\operatorname {E} [X^{2}]={mn \over N}\left[{(n-1)(m-1) \over (N-1)}+1\right]={mn \over N}\left[{{(n-1)(m-1)+(N-1)} \over (N-1)}\right]$

然後我們求解方差

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}$

$\operatorname {Var} (X)={mn \over N}\left[{{(n-1)(m-1)+(N-1)} \over (N-1)}\right]-\left({mn \over N}\right)^{2}$

$\operatorname {Var} (X)={Nmn \over N^{2}}\left[{{(n-1)(m-1)+(N-1)} \over (N-1)}\right]-{(N-1)(mn)^{2} \over (N-1)N^{2}}$

$\operatorname {Var} (X)={nm(N-n)(N-m) \over N^{2}(N-1)}$

或者等效地，

$\operatorname {Var} (X)={nm \over N}\left(1-{n \over N}\right)\left(1-{m-1 \over N-1}\right)$