統計/分佈/卡方

卡方分佈

卡方

機率密度函式
累積分佈函式
符號	$\chi ^{2}(k)\;$ 或 $\chi _{k}^{2}\!$
引數	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ (稱為“自由度”)
支援	$x\in (0,+\infty )\;$ 如果 $k=1$，否則 $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
CDF	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
平均值	$k$
中位數	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
眾數	$\max(k-2,0)\;$
方差	$2k\;$
偏度	${\sqrt {8/k}}\,$
峰度	${\frac {12}{k}}$
熵	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
矩生成函式 (MGF)	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;$
特徵函式 (CF)	$(1-2it)^{-k/2}$
機率生成函式 (PGF)	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

卡方分佈與正態分佈相關。卡方統計量是若干個獨立的標準正態隨機變數的平方和。

假設我們有 n 個服從正態分佈的隨機變數 Z。因此，我們可以寫成 $Z\sim N(0,1)$。如果我們將 Z 平方，使得 $Z^{2}$，那麼我們得到卡方分佈 $Z^{2}\sim \chi _{1}^{2}$。如果我們將 n 個 $\chi _{1}^{2}$ 相加，我們可以寫成

$Y=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+...+Z_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$.

例如，我們想知道一組八個蘋果的重量是否服從正態分佈。卡方分佈可以用來檢驗這一點。假設這些蘋果的重量分別為 88 克、93 克、110 克、76 克、78 克、121 克、92 克和 86 克，並且我們知道所有蘋果的平均重量和標準差。透過減去平均重量 (93) 併除以標準差 (15.41)，我們得到服從正態分佈的 Z 值。例如，第一個蘋果的 Z 分數為 $Z_{1}={\frac {88-93}{15.41}}=-0.3245$，保留四位小數。將所有 Z 值平方，然後將它們加起來得到一個服從卡方分佈的隨機變數，其平均值為 8，方差為 16。

現在，當我們得到卡方統計量 Y 的值時，我們將它與卡方分佈在自由度 n = 8 且顯著性水平為 95% 時的臨界值進行比較，這些臨界值可以在卡方統計表中找到。零假設是這組蘋果的重量服從正態分佈。如果檢驗統計量的值大於臨界值，則拒絕零假設。

卡方分佈是 伽瑪分佈 的特例，其中 a=2 和 p=k/2。機率密度函式為

${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\quad x\geq 0,\,k\in [1,2,...]$

總結性統計

卡方分佈的平均值為 $k$

卡方分佈的方差為 $2k$

有關這些證明，請參見 伽瑪分佈。

外部連結

• 互動式卡方分佈網路小程式（Java）