統計/分佈/伯努利

拋硬幣是再基礎不過的隨機事件了。正面或反面。簡單至極！“伯努利試驗”指的是一個只有一個結果且每個結果發生的機率固定不變的單個事件。你可以將這些事件描述為“是或否”問題。例如

伯努利分佈只有一個控制引數：成功的機率。“公平硬幣”或成功和失敗機率相等的實驗的機率為 0.5（50%）。通常用變數 *p* 來表示此引數。

如果一個隨機變數 *X* 服從引數為 p 的伯努利分佈，我們將它的機率質量函式寫成

f(x)={\begin{cases}p,&{\mbox{if }}x=1\\1-p,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}\quad 0\leq p\leq 1

其中事件 *X=1* 代表“是”。

這個分佈可能看起來微不足道，但它仍然是機率中非常重要的基石。二項式分佈將伯努利分佈擴充套件到包含多個“是”或“否”情況，這些情況具有固定的機率。仔細看看上面引用的例子。下一節將給出一些類似的問題，這些問題可能有助於理解這些分佈之間的關係。

可以推匯出平均值 (E[X])

\operatorname {E} [X]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot x_{i}

\operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0

\operatorname {E} [X]=p\,

\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]=\sum _{i}f(x_{i})\cdot (x_{i}-\operatorname {E} [X])^{2}

\operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot (0-p)^{2}

\operatorname {Var} (X)=[p(1-p)+p^{2}](1-p)\,

\operatorname {Var} (X)=p(1-p)\,

伯努利
引數	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
支援	$k=\{0,1\}\,$
PMF	${\begin{cases}q=(1-p)&{\text{for }}k=0\\p&{\text{for }}k=1\end{cases}}$
CDF	${\begin{cases}0&{\text{for }}k<0\\q&{\text{for }}0\leq k<1\\1&{\text{for }}k\geq 1\end{cases}}$
均值	$p\,$
中位數	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0.5&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
眾數	${\begin{cases}0&{\text{if }}q>p\\0,1&{\text{if }}q=p\\1&{\text{if }}q<p\end{cases}}$
方差	$p(1-p)\,$
偏度	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
超額峰度	${\frac {1-6pq}{pq}}$
熵	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
MGF	$q+pe^{t}\,$
CF	$q+pe^{it}\,$
PGF	$q+pz\,$
Fisher 資訊	${\frac {1}{p(1-p)}}$