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結構生物化學/點群

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每個分子都有一組對稱操作，描述分子的整體對稱性。這組對稱性用於對分子進行分類，被稱為點群。群論是確定複雜分子對稱性、性質和資料的強大數學工具。如果分子在同一組操作下具有相同的對稱響應，則它們被稱為屬於同一個點群。也就是說，兩個分子可以具有完全不同的形狀，但只要它們對某些對稱操作的響應相同，就屬於同一個點群。一個分子只能屬於一個點群。它不能屬於多個點群。

重要的是要理解，點群是用來對分子可能具有的不同對稱性進行分類的工具。它試圖根據分子的形狀和對稱性對分子進行分類。有各種對稱元素用於闡明分子的形狀。分子的形狀和對稱性在結構生物化學中非常重要，因為結構決定了蛋白質和分子的功能。還需要注意的是，許多分子不斷發生構象變化，因此它們的點群也會發生變化。點群是我們在分子水平上理解對稱性的工具。[1]

點群型別

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分子可以根據它們所包含的對稱元素進行區分。不同的對稱操作可以被分類為

氨

-旋轉操作 (Cn): 繞旋轉軸旋轉 360/n 度，使物體保持不變。例如，氨 (NH3) 含有三倍旋轉軸，賦予其 C3 操作。物體或分子可以擁有多個旋轉軸。擁有多個旋轉軸的物體示例包括雪花或八面體。

雪花

-反射操作 (σ): 是透過鏡面反射，物體在反射時保持不變。存在三種不同的 σ。第一種是 σv，其中鏡面平行於主旋轉軸和一個外原子。σd 是一個也平行於主旋轉軸的鏡面，但它不穿過外原子，而是位於兩個外原子之間。Td 和 Dnd 的一個例外是，其中所有鏡面都稱為 σd。最後一個鏡面是水平反射 σh，其中反射平面垂直於主旋轉軸。主旋轉軸是具有最多旋轉對稱摺疊的軸。物體和分子也可以擁有多個反射平面。

File:Sigma v.jpg
σv
File:Sigma d.jpg
σd
File:Sigma h.jpg
σh

-反演操作 (i): 是 C2 旋轉和 σh 操作的組合，透過反演點將分子反轉，反演點通常取為分子的中心。它是透過物體或分子的中點（中心）的反射（或反轉）。

-不當旋轉 (Sn): 是旋轉 360/n，然後透過垂直於旋轉軸的平面反射，σh。S2 操作等同於反演（兩者都是 180 度旋轉，然後是透過垂直水平軸的反射）。

-恆等 (E): 僅僅是繞任意軸旋轉 360 度，得到等效構型。每個分子至少有一個 E 操作。

示例

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Oh – 八面體點群 – 包含完美八面體的所有對稱元素和操作。

圖 I. 八面體。

C∞v : 無限數量的平行於無限數量的旋轉軸的鏡面。


D∞v : 不僅擁有無限數量的旋轉軸和鏡面，而且還擁有垂直於這些無限數量的旋轉軸的二倍旋轉軸。D∞v 還擁有反演中心。

C3v 存在一個三倍主旋轉軸和 3 個平行於該軸的鏡面。

D3h 指示存在 3 個垂直於三倍主軸的二倍旋轉軸和一個垂直於該主軸的鏡面。


如何使用點群流程圖

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所有分子都具有一定的對稱性或不對稱性，並且可以被分組到類別中（稱為點群），其中所有具有相同對稱性的分子都屬於同一個點群。為了便於確定分子的點群，而無需詳盡地確定其所有對稱性質，可以使用點群流程圖。可以透過邏輯的方式找到分子中包含多少個旋轉和鏡面來輕鬆地確定分子的點群。物體對稱性越低，確定其點群所需的對稱操作就越困難，而對稱性越高就越容易確定。這允許使用者根據分子的形狀來回答簡單的問題。如果一個人能夠理解點群流程圖，就不需要記憶。因此，點群確定非常簡單，只需要瞭解點群型別和一些視覺化。[2]

存在許多其他點群，如 C4v、C5v、D4h、D5h 等。記憶所有點群的定義非常繁瑣。為了簡化這一點，可以透過遵循流程圖輕鬆地找到分子的點群。首先，確定分子是線性的還是非線性的。如果是線性的，則確定是否存在反演中心。如果分子是非線性的，則檢查是否存在兩個或更多個 Cn，其中 n 大於 2。如果是，則確定是否存在反演中心以及是否存在 C5 旋轉軸。如果存在兩個或更多個 Cn，則檢查是否存在任何 Cn。如果有，則檢查具有較高 n 的 Cn 是否垂直於 nC2。如果是，則確定分子是否具有 σh 或 σd。如果不存在兩個或更多個 Cn，則檢查是否存在 σh、nσv 或 S2n。這些是存在 Cn 的情況，但如果不存在任何 Cn，則檢查是否存在 σh 或反演中心。如果正確完成此操作，到達鏈的末端將是觀察到的分子的點群。

Point Group Flow Chart
點群流程圖

如何使用流程圖的示例

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File:Water molecule like Micky mouse.png
水分子

以上是水分子圖。遵循流程圖：1. 該分子是非線性的 2. 該分子除了主軸之外沒有超過 2 個旋轉軸 3. 該分子具有適當的 C2 主旋轉軸 4. 但該分子沒有 2 個垂直於主旋轉軸的其他適當旋轉軸 5. 該分子沒有垂直於主軸的鏡面 6. 該分子有兩個平行於主軸的鏡面 7. 因此，水分子屬於 C2v 點群。

File:BF5.png
BF5 分子

以上是 BF5 分子圖。遵循點群流程圖：1. 該分子是非線性的 2. 該分子除了主旋轉軸之外沒有超過 2 個旋轉軸 3. 該分子具有 4 倍適當旋轉軸 4. 該分子沒有 4 個垂直於主旋轉軸的 C2 軸 5. 該分子沒有垂直於主旋轉軸的鏡面 6. 該分子有 4 個垂直於主旋轉軸的鏡面 7. 因此，該分子屬於 C4v 點群。

File:Cyclopropane molecular orbital.png
環丙烷

以上是環丙烷分子圖。遵循點群流程圖：1. 該分子是非線性的 2. 該分子除了主旋轉軸之外沒有超過 2 個旋轉軸 3. 該分子具有適當的 3 倍旋轉軸 4. 該分子有 3 個垂直的 C2 軸 5. 該分子有垂直於主旋轉軸的鏡面 6. 因此，該分子屬於 D3h 點群。

File:Cyclopropane molecular orbital.png
八氯化鋨

上面是一個八氯鋨分子，以重疊構象存在。遵循流程圖：1. 該分子不是線性的。2. 該分子除了主要旋轉軸外，沒有超過2個旋轉軸。3. 該分子具有C4真旋轉軸。4. 該分子具有4個C2真旋轉軸，它們垂直於主要旋轉軸。5. 該分子沒有垂直於主要旋轉軸的鏡面。6. 該分子具有4個平行於主要旋轉軸的鏡面。7. 因此，該分子屬於D4d點群。


高對稱點群

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高對稱分子具有特定的幾何形狀，例如線性、八面體 (Oh)、四面體 (Td) 和二十面體 (Ih) 形狀。雖然這些對稱性存在一些變體，但在自然界中並不常見。

-C∞v 是線性分子，沿主要旋轉軸有無限多個旋轉，以及包含旋轉軸的無限多個反射平面。它們沒有反轉中心，通常是雙原子分子。

-D∞h 也是線性分子，沿主要軸有無限多個旋轉，以及包含旋轉軸的無限多個反射平面。與C∞v 的三個主要區別是，存在一個垂直於主要旋轉軸的C2 軸和一個反射平面，以及一個反轉中心。

-Td 分子具有四面體幾何形狀（但不一定具有四面體的形狀）。它們有4個C3 軸、3個C2 軸、3個S4 軸和6個鏡面。但是，它們缺少C4 軸。

-Oh 分子最常見的是那些具有八面體結構的分子。它們通常具有4個C3 旋轉、3個C4 旋轉和一個反轉中心。

-Ih 分子透過它們的C3 和C5 軸以及反轉中心來識別。

低對稱點群

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C1 是一個除了恆等運算 E 外沒有其他對稱性的分子。Cs 是一個只有鏡面和恆等運算 E 的分子。Ci 僅包含反轉中心和恆等運算 E。

特定點群示例

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群 Intl Orbifold Coxeter 階 描述
Cn n nn [n]+ n 迴圈：n 階旋轉。抽象群 Zn，模 n 加法的整數群。
Dn nm *nn [n] 2n 二面體：迴圈加反射。抽象群 Dihn，二面體群。
有限同構和對應關係

由1或2個鏡面定義的純反射點群子集，也可以透過它們的考克斯特群和相關多邊形給出。這些包括5個晶體學群。反射群的對稱性可以透過一個同構來加倍，透過一個平分鏡將兩個鏡面都對映到彼此，使對稱性階加倍。

反射的 旋轉的 相關多邊形
群 考克斯特群 考克斯特圖 階 子群 Coxeter 階
D1 A1 [ ] Template:CDD Template:CDD 2 C1 []+ 1 二角形
D2 A12 [2] Template:CDD Template:CDD 4 C2 [2]+ 2 矩形
D3 A2 [3] Template:CDD Template:CDD 6 C3 [3]+ 3 等邊三角形
D4 BC2 [4] Template:CDD Template:CDD 8 C4 [4]+ 4 正方形
D5 H2 [5] Template:CDD Template:CDD 10 C5 [5]+ 5 正五邊形
D6 G2 [6] Template:CDD Template:CDD 12 C6 [6]+ 6 正六邊形
Dn I2(n) [n] Template:CDD Template:CDD 2n Cn [n]+ n 正多邊形
D2×2 A12×2 [[2]] = [4] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 8
D3×2 A2×2 [[3]] = [6] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 12
D4×2 BC2×2 [[4]] = [8] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 16
D5×2 H2×2 [[5]] = [10] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 20
D6×2 G2×2 [[6]] = [12] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 24
Dn×2 I2(n)×2 [[n]] = [2n] Template:CDD Template:CDD = Template:CDD 4n
Intl* Geo
[3] 		Orbifold Schönflies Conway Coxeter 階
1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1
1 22 ×1 Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2
2 = m 1 *1 Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2
2
3
4
5
6
n		 2
3
4
5
6
n 		22
33
44
55
66
nn		 C2
C3
C4
C5
C6
Cn		 C2
C3
C4
C5
C6
Cn		 [2]+
[3]+
[4]+
[5]+
[6]+
[n]+
 2
3
4
5
6
n
2mm
3m
4mm
5m
6mm
nmm
nm		 2
3
4
5
6
n		 *22
*33
*44
*55
*66
*nn		 C2v
C3v
C4v
C5v
C6v
Cnv		 CD4
CD6
CD8
CD10
CD12
CD2n		 [2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[n]		 4
6
8
10
12
2n
2/m
3/m
4/m
5/m
6/m
n/m		 2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2 		2*
3*
4*
5*
6*
n*		 C2h
C3h
C4h
C5h
C6h
Cnh		 ±C2
CC6
±C4
CC10
±C6
±Cn / CC2n		 [2,2+]
[2,3+]
[2,4+]
[2,5+]
[2,6+]
[2,n+]		 4
6
8
10
12
2n
4
3
8
5
12
2n
n 		4 2
6 2
8 2
10 2
12 2
2n 2 		2×
3×
4×
5×
6×
n×		 S4
S6
S8
S10
S12
S2n		 CC4
±C3
CC8
±C5
CC12
CC2n / ±Cn		 [2+,4+]
[2+,6+]
[2+,8+]
[2+,10+]
[2+,12+]
[2+,2n+]		 4
6
8
10
12
2n
Intl Geo Orbifold Schönflies Conway Coxeter 階
222
32
422
52
622
n22
n2		 2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2		 222
223
224
225
226
22n		 D2
D3
D4
D5
D6
Dn		 D4
D6
D8
D10
D12
D2n		 [2,2]+
[2,3]+
[2,4]+
[2,5]+
[2,6]+
[2,n]+		 4
6
8
10
12
2n
mmm
6m2
4/mmm
10m2
6/mmm
n/mmm
2nm2		 2 2
3 2
4 2
5 2
6 2
n 2		 *222
*223
*224
*225
*226
*22n		 D2h
D3h
D4h
D5h
D6h
Dnh		 ±D4
DD12
±D8
DD20
±D12
±D2n / DD4n		 [2,2]
[2,3]
[2,4]
[2,5]
[2,6]
[2,n]		 8
12
16
20
24
4n
42m
3m
82m
5m
122m
2n2m
nm		 4 2
6 2
8 2
10 2
12 2
n 2
 2*2
2*3
2*4
2*5
2*6
2*n		 D2d
D3d
D4d
D5d
D6d
Dnd		 ±D4
±D6
DD16
±D10
DD24
DD4n / ±D2n		 [2+,4]
[2+,6]
[2+,8]
[2+,10]
[2+,12]
[2+,2n]		 8
12
16
20
24
4n
23 3 3 332 T T [3,3]+ 12
m3 4 3 3*2 Th ±T [3+,4] 24
43m 3 3 *332 Td TO [3,3] 24
432 4 3 432 O O [3,4]+ 24
m3m 4 3 *432 Oh ±O [3,4] 48
532 5 3 532 I I [3,5]+ 60
53m 5 3 *532 Ih ±I [3,5] 120
(*) 當 Intl 條目重複時，第一個對應偶數 n，第二個對應奇數 n。

反射子叢集

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有限同構和對應關係

由1到3個鏡面定義的純反射點群子集，也可以透過它們的考克斯特群和相關多面體給出。[3,3] 群可以加倍，寫成 [[3,3]]，將第一個和最後一個鏡面對映到彼此，使對稱性加倍至 48，並且與 [4,3] 群同構。

Schönflies 考克斯特群 考克斯特圖 階 相關正多面體和稜柱體
Td A3 [3,3] Template:CDD 24 四面體
Td×Dih1 = Oh A3×2 = BC3 [[3,3]] = [4,3] Template:CDD = Template:CDD 48 星形八面體
Oh BC3 [4,3] Template:CDD 48 立方體，八面體
Ih H3 [5,3] Template:CDD 120 二十面體，十二面體
D3h A2×A1 [3,2] Template:CDD 12 三角稜柱
D3h×Dih1 = D6h A2×A1×2 [[3],2] Template:CDD = Template:CDD 24 六角稜柱
D4h BC2×A1 [4,2] Template:CDD 16 正方稜柱
D4h×Dih1 = D8h BC2×A1×2 [[4],2] = [8,2] Template:CDD = Template:CDD 32 八角柱
D5h H2×A1 [5,2] Template:CDD 20 五角柱
D6h G2×A1 [6,2] Template:CDD 24 六角稜柱
Dnh I2(n)×A1 [n,2] Template:CDD 4n n-邊 稜柱
Dnh×Dih1 = D2nh I2(n)×A1×2 [[n],2] Template:CDD = Template:CDD 8n
D2h A13 [2,2] Template:CDD 8 長方體
D2h×Dih1 A13×2 [[2],2] = [4,2] Template:CDD = Template:CDD 16
D2h×Dih3 = Oh A13×6 [3[2,2]] = [4,3] Template:CDD = Template:CDD 48
C3v A2 [1,3] Template:CDD 6 正多面體
C4v BC2 [1,4] Template:CDD 8
C5v H2 [1,5] Template:CDD 10
C6v G2 [1,6] Template:CDD 12
Cnv I2(n) [1,n] Template:CDD 2n
Cnv×Dih1 = C2nv I2(n)×2 [1,[n]] = [1,2n] Template:CDD = Template:CDD 4n
C2v A12 [1,2] Template:CDD 4
C2v×Dih1 A12×2 [1,[2]] Template:CDD = Template:CDD 8
Cs A1 [1,1] Template:CDD 2

表示

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不可約表示用於為該點群建立字元表。

- 值為 1 表示對稱性不會改變其軌道位置

- 值為 0 表示操作會改變軌道的 位置

- 值為 -1 表示軌道不會改變其對稱性，但會反轉其符號。

可約表示只是不可約表示的組合。

字元表

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字元表由這些字元指定，這些字元意味著不同的操作。

-x,y,x 是 x,y,z 座標的變換

-Rx, Ry, Rz 是圍繞 x, y, z 軸的旋轉

-R 是任何對稱操作，如 C2

-X 是操作的特徵

-i, j 是不同表示的名稱，例如 A1 或 A2

-h 是組中對稱操作的總數（階數）

參考文獻

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  1. ↑ 點群，2012 年 11 月 14 日。
  2. ↑ 點群，2012 年 10 月 28 日
  3. ↑ 幾何代數中的晶體空間群，D. Hestenes 和 J. Holt，數學物理學雜誌。 48, 023514 (2007) (22 頁) PDF [1]

http://en.wikipedia.org/wiki/Point_group

Miessler, Gary. 無機化學。 第四版。

檢索自 "https://wikibook.tw/wiki/Structural_Biochemistry/Point_Groups"
華夏公益教科書