結構生物化學/降維公式和投影算符
當體系變得過於複雜時，例如超過 3 個外圍原子，則很難將可約表示降維為不可約表示。為了克服這個問題，可以使用一個公式來計算不可約表示。公式如下：（給定型別不可約表示的數量）=（1/階數）*∑[（類中運算的數量）*（可約表示的特徵）*（不可約表示的特徵）]
其中階數 = 所有類運算的總和
以下是氨外圍原子的σ框架。
氨屬於 C3v 點群。
C3v 點群特徵表如下所示。
可約表示如下
因為有三個軌道進入，所以有三個 SALC 出來。
現在可以使用降維公式來查詢 SALC 的不可約表示。nA1 = 1/6 [(1)(3)(1) + (2)(0)(1) + (3)(1)(1)] = 1 這意味著在不可約表示中有一個 A1 SALC 這個點群的階數是 6，因為 E、C3、SigmaV 的係數分別是 1、2 和 3，它們的總和是 6。1. 第一項中的第一個 1 代表特徵表中 E 的係數。
2. 第一項中的 3 代表可約表示中的特徵
3. 第一項中的第二個 1 代表特徵表中的特徵
4. 第二項中的 2 代表特徵表中 C3 的係數。
5. 第二項中的 0 代表可約表示中的特徵
6. 第二項中的 1 代表不可約表示中的特徵
7. 第三項中的 3 代表特徵表中 SigmaV 的係數
8. 第三項中的第一個 1 代表可約表示中的特徵
9. 第三項中的第二個 1 代表不可約表示中的特徵
可以用相同的方式找到 A2 和 E 的不可約表示的數量。nA2 = 1/6 [(1)(3)(1) + (2)(0)(1) + (3)(1)(-1) ] = 0 nE = 1/6 [(1)(3)(2) + (2)(0)(-1) + (3)(1)(0) ] = 1
雖然只有一個 A1 和一個 E，但這個 E SALC 實際上包含兩個 SALC。因此，總共有三個 SALC。
現在我們知道氨分子是由一個 A1 和一個 E SALC 集組成。我們怎麼知道它們是什麼樣子的？投影運算是一個幫助我們視覺化 SALC 的工具。它根據對稱性將 SALC 對映到其正確的方向。
投影算符的公式如下
例如，氨中的 SALC 可以使用這個投影算符公式找到。為了正確使用這個公式，需要遵循一些規則
1. 按字母順序命名原子。
2. 確定主旋轉軸是逆時針還是順時針。
3. 展開所有對稱運算
＝示例：氨=
在這種情況下，旋轉軸沿 z 軸逆時針旋轉。氫 A 與 x 軸對齊。重要的是要記住為了方便起見，在三倍對稱中將一個外圍原子放在 x 或 y 軸上。
現在，我們首先確定 A1 應該是什麼樣子。（你應該能夠立即視覺化 A1。但是，這裡有一個簡單的演示）
（注意對稱運算被擴充套件為其唯一運算。）
第一行關注氫 A 原子。1. 當對氫 A 執行 E 運算時，氫 A 會被返回。然後 A 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
2. 當對氫 A 執行逆時針 C3 運算時，氫 B 會被返回。然後 B 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
3. 當對氫 A 執行逆時針 C32 運算時，氫 C 會被返回。然後 C 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
4. 當對氫 A 執行沿氫 A 的垂直反射面運算時，氫 A 會被返回。然後 A 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
5. 當對氫 A 執行沿氫 B 的垂直反射面運算時，氫 C 會被返回。然後 C 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
6. 當對氫 A 執行沿氫 C 的垂直反射面運算時，氫 B 會被返回。然後 B 被乘以不可約表示中的特徵，即 1。
使用類似的操作關注氫 B 和 C，結果相同。（注意：這是因為 A1 是單簡併的）
這些運算的總和是 2A + 2B + 2C
可以進一步簡化為 A + B + C 因此，SALC 的外觀完全像
現在，我們將確定 E SALC 是什麼樣子，它不像 A1 SALC 那樣簡單。
以下是 E SALC 的投影運算
（注意係數不同，因為特徵表中 E 的係數是 2 -1 0）
我們需要從這三個方程中找出兩個獨特的 E SALC。這就是為什麼我們需要將一個外圍原子放在一個軸上。由於氫 A 沿 x 軸，第一個方程是一個獨特的方程。但是，第二個獨特的方程不應該包含氫 A。為了得到不包含氫 A 的方程，另外兩個方程必須相互減去。因此，一個獨特的方程是 2A – B – C，另一個是 3B -3C，它可以進一步簡化為 B – C。現在我們準備繪製 E SALC。
以下是氨的完整分子軌道圖。
在氨中，氮的 2S 軌道不僅與 A1 SALC 形成 1a1 分子軌道，而且還與 2Pz 混合形成 2a1 分子軌道。因此，這個軌道被稱為 sp 雜化軌道。因為 2a1 分子軌道是透過與 2S 軌道混合形成的，所以軌道被穩定，因此具有較低的軌道能量。
2a1 分子軌道中的電子是氨上的孤對電子。這個 sp 雜化軌道有一個反轉中心。這個反轉中心可以很容易地翻轉氮，如圖所示。因此，即使四個不同的成分連線到氮上，胺基中也永遠不會存在手性中心。
Figueroa, Joshua. "Character Tables, Irreducible Representations of Central Atom." Lecture 9. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "SALCs, Molecular Orbital Diagrams, and High Symmetry Point Groups." Lecture 10. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "More SALC’s Molecular Orbital Diagrams and High Symmetry Point Groups." Lecture 11. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "Molecular Orbital Diagrams Featuring and Pi-Bonding and High Symmetry Point Groups." Lecture 13. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "Degenerate Orbitals, Methods for Determining Irreducible Representations and SALCs." Lecture 14. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture.