補充數學/微積分
微積分，過去被稱為無窮小微積分，是數學的一個分支。正如幾何學是研究形狀，代數是算術運算（四則運算）的推廣一樣，微積分是關於連續變化的數學研究。
微積分有兩個分支：微分微積分和積分微積分。微分微積分研究曲線變化率和斜率，而積分微積分處理曲線下方的面積和值的累積。這兩個分支透過微積分基本定理相互聯絡，並使用序列和無窮級數收斂到明確定義的極限的基本概念。
無窮小微積分是在 17 世紀後期由艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨獨立發展起來的。如今，微積分已在科學、工程和經濟學領域得到了廣泛的應用。
在古代，一些想法導致了積分微積分。但這些想法似乎沒有導致一種系統且穩定的方法。計算體積和麵積是積分微積分的目的之一，這可以在莫斯科紙草書（埃及第十三王朝，約公元前 1820 年）中找到；但這些公式只是簡單的食譜，沒有對特定方法的指示，因此其中一些食譜缺乏主要成分。
從希臘數學時代開始，歐多克斯（約公元前 408-355 年）使用阿芙納的方法（在發現極限概念之前做了類似的事情）來計算面積和體積，而阿基米德（約公元前 212-287 年）發展了這種方法，發明了一種類似於積分微積分方法的啟發式方法。
在中東，伊本·海賽姆（拉丁語：Alhazen）（公元 965-1040 年）推匯出四次方之和的公式。他利用了我們現在稱為該函式積分的結果，這些平方和以及四次方之和的公式也使他能夠計算拋物線的體積。
在 14 世紀，印度數學家提出了一種不穩定的方法，類似於微分，可以應用於一些三角函式。
在歐洲，基本工作以博納文圖拉·卡瓦列裡的著作形式出現。他聲稱體積和麵積應該寫成具有無窮小部分的體積和麵積之和。這些想法與阿基米德在他名為“方法”的著作中所做工作類似，但他們認為阿基米德的著作在 13 世紀丟失，並在 20 世紀重新發現，因此卡瓦列裡不知道它的存在。
對微積分的正式研究將卡瓦列裡的無窮小方法與同時在歐洲發展起來的有限差分微積分結合在一起。皮埃爾·德·費馬聲稱“儘可能相等”的概念（他用拉丁語創造了“相等”這個詞來表示這個概念）的靈感來自丟番圖。這個概念表示在無窮小誤差項內相等。這些概念的結合是由約翰·沃利斯、艾薩克·巴羅和詹姆斯·格雷戈裡完成的，後兩位在 1670 年左右證明了算術基本定理第二定理。
艾薩克·牛頓使用一種奇怪的符號來解決數學和物理問題，他使用了乘法規則和鏈式法則，高階導數的概念和泰勒級數，以及解析函式。在他的著作中，牛頓以一種與當時方法相符的方式重新表述了他的想法，因為他用幾何等價物代替了無窮小的計算。他用來解決行星運動、旋轉流體表面形狀、地球在兩極的膨脹（兩極膨脹）、重物沿輪子滑動的運動等問題，以及他在他的著作中討論的許多其他問題（《自然哲學的數學原理》一書，於公元 1687 年出版）中使用了算術方法。在他的其他著作中，他使用函式的級數展開，包括分數和非指數冪，因此很明顯他理解了泰勒級數的原理。但他沒有公開所有這些發現，而且在那時，使用無窮小方法仍然處於糟糕的歷史中，沒有合適的方面。
這些想法導致了由戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨組織的真實無窮小微積分。牛頓最初指責萊布尼茨剽竊。他現在被認為是微積分的獨立發明者和貢獻者。他的貢獻是提供了一套清晰的規則來處理無窮小的值，這使得計算二階和更高階的導數成為可能，並在微分和積分形式中提供了乘法規則和鏈式法則。與牛頓相反，萊布尼茨非常重視形式化，以至於他經常花幾天時間來確定概念的適當符號。
如今，萊布尼茨和牛頓都因發明和獨立發展微積分而受到讚譽。牛頓是第一個將微積分應用於一般物理學的人，而萊布尼茨是第一個使用現代微積分中使用的許多符號的人。牛頓和萊布尼茨提供的基本見解包括：微分和積分定律、二階及更高階導數，以及使用多項式級數進行逼近的概念。到牛頓時代，微積分基本定理已經為人所知。
自萊布尼茨和牛頓以來，許多數學家為微積分的持續發展做出了貢獻。1748 年由瑪麗亞·蓋塔娜·阿涅西撰寫的關於無窮小微積分和積分微積分的第一部最完整的著作之一。
無窮小微積分用於物理和天文學問題的應用與科學誕生的同時代。在整個 18 世紀，這些應用不斷增加，直到拉普拉斯和拉格朗日將廣泛的力學研究帶入了分析領域。我們將勢理論引入動力學的功勞歸於拉格朗日（1773 年），儘管“勢函式”這個名稱以及該主題的基本記憶歸功於格林（1827 年，出版於 1828 年）。“勢”這個名稱歸功於高斯（1840 年），勢與勢函式之間的區別歸功於克勞修斯。隨著它的發展，萊昂·狄利克雷、黎曼、馮·諾伊曼、海涅、克羅內克、利普希茨、克里斯托費爾、基爾霍夫、貝爾特拉米以及這個世紀的許多傑出物理學家的名字是。
在本文中，不可能深入探討分析用於物理問題的各種其他應用，包括尤拉對振動弦的研究。索菲·熱爾曼關於彈性膜；泊松、拉梅、聖維南和克萊布什關於三維物體的彈性。二月在熱釋放。菲涅爾在光；麥克斯韋、亥姆霍茲和赫茲在電。漢森、希爾和吉爾登關於天文學。麥克斯韋關於球諧函式。瑞利勳爵關於聲學。以及萊昂·狄利克雷、韋伯、基爾霍夫、F 的貢獻。亥姆霍茲的勞動值得特別提及，因為他對動力學、電學等理論做出了貢獻，並將他的強大分析能力應用於力學的基本原理以及純數學。
此外，無窮小微積分從新古典經濟學開始進入社會科學。如今，它是主流經濟學中的一種有價值的工具。
在微積分中，“基礎”指的是從公理和定義出發對該學科的詳細發展。在早期的計算中，使用無窮小值被認為是不精確的，並受到許多作者的強烈批評，特別是米歇爾·羅爾和喬治·貝克萊主教。1734 年，貝克萊在他的著作《分析家》中將無窮大描述為消失量體的幽靈。自從牛頓和萊布尼茨以來，建立微積分的精確基礎困擾著數學家一個世紀，並且至今仍然是活躍的研究領域。
包括麥克勞林在內的幾位數學家試圖證明使用無窮小的合理性，但直到 150 年後，由於柯西和魏爾斯特拉斯的工作，才最終找到了一種方法來避免僅僅“概念”上的無窮小。微積分的基礎由此建立起來。在柯西的《分析教程》中，我們找到了許多基本方法，包括用無窮大定義連續性，以及在微分定義中（ε，δ）-極限定義的（不太精確的）原型。在魏爾斯特拉斯的工作中，他形式化了極限的概念，消除了無窮小（儘管他的定義實際上可以證實無窮小零平方的存在）。繼魏爾斯特拉斯的工作之後，最終人們開始普遍地將微積分建立在極限而不是無窮小的基礎上，儘管這有時仍然被稱為“無窮小微積分”。伯恩哈德·黎曼利用這些思想給出了積分的精確定義。也是在這個時期，隨著複分析的發展，微積分的思想擴充套件到了複數領域。
在現代數學中，微積分的基礎被納入實分析領域，其中包括微積分定理的定義和完整證明。對微積分的訪問也得到了極大擴充套件。亨利·勒貝格基於埃米爾·博雷爾早期的發展建立了測度理論，並用它定義了除最病態函式以外的所有函式的積分。洛朗·施瓦茨引入了可以用來對任何函式求導的分佈。
極限不是建立微積分基礎的唯一精確方法。另一種方法是使用亞伯拉罕·羅賓遜的非標準分析。羅賓遜的方法是在 1960 年代發展起來的，它利用數學邏輯中的技術工具來擴充套件實數系，加入無窮小，就像牛頓-萊布尼茨最初的概念一樣。由此產生的數字被稱為超實數，可以用來給出萊布尼茲式的擴充套件，就像通常的算術規則一樣。還有光滑無窮小分析，它不同於非標準分析，因為它要求在推導過程中忽略更高冪的無窮小。
雖然微積分的許多思想已經在希臘、中國、印度、伊拉克、伊朗和日本得到發展，但微積分的使用始於 17 世紀，當時艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨在他們的基礎上進行了構建。更早的數學家引入了它的基本原理。微積分的發展基於瞬時運動和曲線下的面積的基本概念。
微積分的應用包括與速度和加速度、曲線斜率和最佳化相關的計算。積分學的應用包括面積、體積、弧長、質心、功和壓力的計算。更高階的程式包括冪級數和傅立葉級數。
微積分還用於更精確地理解空間、時間和運動的本質。幾個世紀以來，數學家和哲學家一直在努力解決與除以零或無限多個數字的總和有關的悖論。這些問題是在運動和麵積的研究中提出的。古希臘哲學家埃利亞的芝諾給出了幾個著名的這類悖論的例子。微積分提供了工具，尤其是極限和無窮級數，可以解決這些悖論。
微積分通常是透過處理非常小的值來發展的。從歷史上看，第一種方法是在無窮小的幫助下完成的。這些是像實數一樣可以處理的物件，但在某些方面“無限小”。例如，一個無窮小的數可能大於零，但小於序列 中的任何數，因此它小於任何正實數。從這個角度來看，算術是一組無窮小的操作技術。符號 和 被認為表示無窮小，導數，即 ，僅僅是這兩個數的比值。
無窮小方法在 19 世紀被放棄，因為它很難使無窮小的概念變得精確。然而，這個概念在 20 世紀隨著非標準分析和光滑無窮小分析概念的引入而復興，它們為無窮小的操作提供了堅實的基礎。
在 19 世紀末，無窮小在科學界被ε和δ方法定義的極限所取代。它根據函式在相鄰輸入處的數值描述了函式在特定輸入處的一系列數值。這個工具在實數機器的背景下捕捉到了小範圍的行為。在這種方法中，微積分可以被認為是一組操作某些極限的技術。無窮小被非常小的數字所取代，函式的無窮小行為透過它對更小和更小的數值的極限行為來獲得。極限被認為為計算提供了堅實的基礎，出於這個原因，這種方法在 20 世紀成為了標準方法。
微積分研究函式導數的定義、性質和應用。求導的過程稱為“微分”。如果我們考慮一個函式及其定義域中的一個點，那麼該點的導數是一種方法，它包括該函式在該點附近的小尺度行為。透過找到函式在其定義域的任何點的導數，可以生成一個新的函式，稱為“導數函式”或簡稱“導數”。在正式的語言中，導數是一個線性運算元，它以一個函式作為輸入，併產生另一個函式作為輸出。後一種描述比初等代數中研究的許多過程更加抽象，在初等代數中，函式的輸入和輸出只是數字。例如，如果考慮一個加倍函式，輸入三將產生輸出六，如果考慮一個平方函式，輸入三將產生輸出九。雖然求導以平方生成器函式的整個函式為輸入，也就是說，與該函式的每個數值輸入的數值輸出相關的全部資訊，並根據該資訊構建另一個函式，即加倍函式。就是。
用更明確的語言來說，“加倍函式”可以表示為 ，“平方函式”可以表示為 。現在，“導數”以函式 為輸入，該函式由表示式“”定義，並從中得到函式 。
導數最常見的符號是類似於撇號的符號，稱為撇號（或波斯語中的 prim）。因此，像 這樣的函式的導數寫成 ，稱為“f 撇”。例如，如果 是平方函式，那麼 是它的導數（與上面討論的加倍函式相同）。這種記法被稱為拉格朗日記法。
應用
[edit | edit source]微積分被應用於物理科學、精算科學、計算機科學、統計學、工程學、經濟學、商業、醫學、人口統計學以及其他任何可以進行數學建模並找到最優解的問題的各個領域。所需。這使得人們可以從（非恆定的）變化率變為總變化率，反之亦然，並且在研究問題時，我們經常會認識到一個並試圖找到另一個。微積分可以與其他數學學科一起使用。例如，它可以與線性代數一起使用來找到給定域中一組點的“最佳擬合”線性近似。或者，它可以用於機率論，根據機率密度函式確定連續隨機變數的期望值。在解析幾何中，為了研究函式的圖形，微積分用於尋找高點和低點（最大值和最小值）、斜率、凹凸性和轉折點。微積分還用於尋找方程的近似解。在實踐中，這是求解微分方程和在大多數應用中尋找根的標準方法。例如，存在牛頓法、不動點迭代和線性逼近等方法。例如，航天器使用改進的尤拉方法來近似零重力環境中的彎曲軌跡。
物理學特別利用微積分。經典力學和電磁學中的所有概念都透過微積分相互關聯。物體的質量（已知密度）、物體的轉動慣量以及由於萬有引力和電磁力引起的勢能都可以透過微積分求得。微積分在力學中的一個例子是牛頓第二定律，它指出物體的動量對時間的導數等於合外力。另一方面，牛頓第二定律可以表示為合外力等於物體的質量乘以它的加速度，加速度是速度對時間的導數，因此是位置對時間的二階導數。從知道物體如何加速開始，我們使用微積分來推匯出它的路徑。
麥克斯韋電磁理論和愛因斯坦的廣義相對論也用微分學的語言表達。化學也利用微積分來確定反應速率和研究放射性衰變。在生物學中，種群動力學從繁殖率和死亡率開始，以模擬種群的變化。
格林定理，它表達了圍繞簡單閉合曲線 C 的線積分與由 C 圍成的平面區域 D 上的二重積分之間的關係，被應用於一種稱為面積計的儀器，該儀器用於計算平面的面積。將在繪畫上。例如，它可以用於在設計一塊地佈局時，計算形狀不規則的花壇或游泳池所佔用的面積。
在醫學領域，微積分可以用來找到血管的最佳分叉角，以最大限度地提高血流。微積分可以用來找出藥物從體內消除的速度或癌性腫瘤生長速度。
在經濟學中，微積分使人們能夠透過提供一種輕鬆計算邊際成本和邊際收益的方法來確定最大利潤。
型別
[edit | edit source]多年來，人們已經探索了微積分的許多重新表述，以用於各種目的。
從1870年代開始，對微小無窮小的不精確計算在很大程度上被精確的 (ε, δ) 極限定義所取代。與此同時，人們繼續使用無窮小進行計算，通常能得到正確的結果。這促使阿布拉罕·羅賓遜研究是否可以建立一個包含無窮小量的數字系統，同時仍然滿足微積分的定理。1960年，他在埃德溫·霍伊特和耶日·洛什作品的基礎上成功地發展了非標準分析。非標準分析理論十分豐富，可以應用於許多數學分支。因此，僅討論傳統微積分定理的書籍和文章通常被稱為非標準微積分。
這是另一種基於無窮小的微積分重新表述。它基於 F.W. 勞埃爾的思想，使用範疇論的方法，將所有函式都視為連續的，並且無法表達離散實體。這種表述的一個特點是它不包含排中律。
構造性數學是數學的一個分支，它堅持認為證明一個數字、函式或其他數學物件的存在必須提供該物件的結構。因此，構造性數學也拒絕排中律。在構造框架內重新表述微積分通常是構造性分析的一部分。