補充數學/圓錐曲線

在數學中，圓錐曲線（或簡稱為圓錐，有時稱為二次曲線）是由圓錐面與平面的交線形成的曲線。圓錐曲線有三種類型：雙曲線、拋物線和橢圓。圓是橢圓的特例，儘管在歷史上它有時被稱為第四種類型。古希臘數學家研究了圓錐曲線，最終在公元前 200 年左右，阿波羅尼奧斯·佩爾蓋系統地闡述了它們的性質。

定義

圓

圓是平面上到定點O距離相等的點的集合。從圓心到圓周的距離稱為半徑，點O稱為圓心。半徑的兩倍稱為直徑D=2r。圓心角是圓周角，等於360°或 $2\pi$ 弧度。

在周長相同時，圓的面積最大；在面積相同時，圓的周長最小。

橢圓

在數學中，**橢圓**是平面曲線，它圍繞著兩個焦點，使得曲線上的所有點到兩個焦點的距離之和是一個常數。它概括了圓，圓是兩個焦點重合的橢圓的特例。橢圓的伸長程度由它的偏心率 $e$ 來衡量，這個數值在 $e=0$ （圓的極限情況）到 $e=1$ （無限伸長的極限情況，不再是橢圓而是拋物線）。

拋物線

在數學中，**拋物線**是平面曲線，它關於一條直線對稱，並且形狀近似於 U 形。它符合若干表面上不同的數學描述，但都可以證明它們定義了完全相同的曲線。

梅涅克穆斯研究了拋物線，試圖解決倍立方問題。梅涅克穆斯透過找到兩個拋物線 $x^{2}=y$ 和 $y^{2}=2x$ 的交點來解決這個問題。歐幾里得寫了關於拋物線的著作，阿波羅尼奧斯給它起了現在的名字。帕斯卡爾認為拋物線是圓的投影，伽利略證明了在均勻重力作用下墜落的拋射體遵循拋物線軌跡。格雷戈裡和牛頓考慮了拋物線的焦散性質，它可以將平行光線匯聚到焦點（MacTutor 檔案），如上圖所示。

雙曲線

雙曲線的每個分支都有兩條漸近線，它們離雙曲線中心越遠，就越直（曲率越低）。來自每個分支的對角線相對的漸近線，在無限遠處趨向於一條共同的直線，稱為這兩條漸近線的漸近線。所以有兩條漸近線，它們相交於雙曲線的對稱中心，可以看作是每個分支反射以形成另一個分支的映象點。對於曲線，漸近線是兩條座標軸。

雙曲線與橢圓共享許多分析性質，如偏心率、焦點和準線。通常，只要在某些項中改變符號，就可以建立這種對應關係。許多其他數學物件起源於雙曲線，例如雙曲拋物面（鞍面）、雙曲面（“廢紙簍”）、雙曲幾何（羅巴切夫斯基著名的非歐幾何）、雙曲函式（sinh，cosh，tanh 等）和旋量空間（一種被提議用於相對論和量子力學中的幾何，它不是歐幾里德幾何）。

圓錐曲線的方程

圓錐曲線可以在合適的 x-y 座標系中用二階方程來描述

橢圓，中心 M 在點 (0,0) 處，長軸在 x 軸上
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b=|MS_{3}|,\qquad a,b\neq 0\quad ,$ （見圖）。（當 $a=b=r$ 時，即為圓）。
拋物線，頂點在點（0,0），對稱軸為 y 軸
$y=ax^{2},\quad a={\frac {1}{4|SF|}},\qquad a\neq 0\quad ,$ （見圖）。
雙曲線，中心 M 在點（0,0），實軸在 x 軸上
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b^{2}=|MF_{1}|^{2}-a^{2},\ qquada,b\neq 0\quad ,$ （見圖）。
相交的直線對，交點在點（0,0）
$a^{2}x^{2}-y^{2}=0,\ a\neq 0.$
直線，過點（0,0）
$x^{2}=0.$
點，點（0,0）
$a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=0,\ a,b\neq 0.$

為了完整起見，我們還添加了兩種情況，它們雖然不能作為實際的圓錐曲線，但也是由二階方程描述的。

平行直線對
$x^{2}=a^{2},\ a\neq 0.$
空集:
$x^{2}+y^{2}=-1$ 或 $x^{2}=-1$ 。

最後兩種情況可以看作是直圓柱的平面截面。圓柱可以看作是頂點在無窮遠處的圓錐的極限情況。因此，這兩種情況也被包含在圓錐曲線中。

單位圓錐的平面截面

conic-cases 為了確定上面提到的曲線/點作為圓錐曲線實際上發生在圓錐與平面相交時，這裡我們用單位圓錐（直圓錐） $K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 與平行於 y 軸的平面相交。由於圓錐是旋轉對稱的，所以這不是一個限制。任何直圓錐都是單位圓錐 $K_{1}$ 的仿射像，橢圓/雙曲線/拋物線/... 在仿射變換下仍然保持不變。

已知：平面 $\varepsilon \colon ax+cz=d\ ,$ 錐面 $K_{1}\colon x^{2}+y^{2}=z^{2}$ .

求：交集 $\varepsilon \cap K_{1}$ .

情況 I： $c=0$ $c=0$ 在這種情況下，平面垂直於 $a\neq 0$ $a\neq 0$ 且 $x=d/a$ $x=d/a$ . 消去 $x$ $x$ 從錐面方程中得到 $z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2}$ $z^{2}-y^{2}=d^{2}/a^{2}$ .
- 情況 Ia: $d=0$ 。在這種情況下，交集由一對直線 $t(0,1,\pm 1),\ t\in \mathbb {R} .$ 組成。
- 情況 Ib: $d\neq 0$ 。上述方程現在描述了 y-z 平面中的雙曲線。因此，交集曲線 $\varepsilon \cap K_{1}$ 本身是一條雙曲線。
情況 II： $c\neq 0$ $c\neq 0$ 。如果使用平面方程從錐面方程中消去 $z$ $z$ ，則得到方程組 $(1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.$ $(1)\quad (c^{2}-a^{2})x^{2}+2adx+c^{2}y^{2}=d^{2},\qquad (2)\quad ax+cz=d.$
- 情況 IIa: 對於 $d=0$ ，平面穿過圓錐的頂點 $(0,0,0)$ ，公式 (1) 現在變為 $(c^{2}-a^{2})x^{2}+c^{2}y^{2}=0$ .
  對於 $c^{2}>a^{2}$ ，交點為點 $P_{0}=(0,0,0)$ .
  
  對於 $c^{2}=a^{2}$ ，交點為直線 $t(c,0,-a),\ t\in \mathbb {R} .$
  
  對於 $c^{2}<a^{2}$ ，交點為一對直線 $t(c/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}},1,-a/\pm {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}),\ t\in \mathbb {R} .$
- 情況 IIb: 對於 $d\neq 0$ ，平面不穿過圓錐的頂點 且不垂直。
  對於 $c^{2}=a^{2}$ ，(1) 變為 $x=-{\frac {c^{2}}{2ad}}y^{2}+{\frac {d}{2a}}$ ，交點曲線為拋物線。
  
  對於 $c^{2}\neq a^{2}$ ，我們將 (1) 變換為 ${\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{d^{2}c^{2}}}\left(x+{\frac {ad}{c^{2}-a^{2}}}\right)^{2}+{\frac {c^{2}-a^{2}}{d^{2}}}y^{2}=1$ 。
  
  當 $c^{2}>a^{2}$ 時，交線是橢圓，
  
  當 $c^{2}<a^{2}$ 時，存在雙曲線。

交線的引數表示可以在網路連結CDKG的第106-107頁找到。

總結

如果切割平面不包含圓錐的頂點，則結果是非退化圓錐曲線（見圖 Ib，IIb），即拋物線、橢圓或雙曲線，取決於圓錐軸被切割平面相交的角度是與圓錐的母線相同、更大還是更小。
另一方面，如果圓錐的頂點位於截面內，則會形成退化圓錐曲線（見圖 Ia，IIa），即點（即圓錐的頂點）、直線 '（即一條表面線）或相交的直線對（即兩條表面線）。

圓錐曲線束

一個（非退化）圓錐曲線完全由平面上一般位置的五個點（沒有三個點共線）確定，並且透過一組固定的四個點（同樣在一個平面上，沒有三個點共線）的圓錐曲線系統被稱為圓錐曲線束。四個公共點被稱為該束的基點。除了基點以外的任何點，都有一條唯一的圓錐曲線束透過它。這個概念概括了圓的束。

在一個定義在代數封閉域上的射影平面中，任何兩個圓錐曲線都交於四個點（按重數計算），因此，確定了基於這四個點的圓錐曲線束。此外，四個基點確定了三個直線對（透過基點的退化圓錐曲線，每對直線中的每條線恰好包含兩個基點），因此每個圓錐曲線束最多包含三個退化圓錐曲線。

一個圓錐曲線束可以用以下方式代數地表示。設 $C 1$ 和 $C 2$ 是定義在代數封閉域 $K$ 上的射影平面中的兩個不同的圓錐曲線。對於 $K$ 中的元素 $λ, μ$ 的每一對，只要不都為零，表示式

\lambda C_{1}+\mu C_{2}

表示由 $C 1$ 和 $C 2$ 確定的束中的一個圓錐曲線。這個符號表示可以透過輕微濫用符號來具體化（使用相同的符號來表示物件及其定義物件的方程）。將 $C 1$ 視為一個三元二次形式，那麼 $C 1 = 0$ 是“圓錐曲線 $C 1$ ”的方程。另一個具體的實現方法是將 $C 1$ 視為一個3×3對稱矩陣，它代表著這個圓錐曲線。如果 $C 1$ 和 $C 2$ 具有這樣的具體實現，那麼上述束中的每個成員也將具有這樣的實現。由於設定在射影平面中使用齊次座標，如果兩個具體表示（無論是方程還是矩陣）相差一個非零的乘法常數，那麼它們表示的是同一個圓錐曲線。