補充數學/微分幾何

微分幾何是數學的一個分支，它處理光滑形狀和光滑空間的幾何，也稱為光滑流形。它使用微積分、積分學、線性代數和多線性代數的技術。這個領域起源於對球面幾何的研究，可以追溯到古代。它也與天文學、地球大地測量學以及後來洛巴切夫斯基對雙曲幾何的研究有關。最簡單的平面空間例子是歐幾里得三維空間中的曲線和平面，對這些形式的研究是 18 世紀和 19 世紀現代微分幾何發展的基礎。一個浸入鞍形平面（雙曲拋物面）的三角形，以及兩條發散的超平行線。自 19 世紀後期以來，微分幾何已經發展成為一個通常關注可微流形上幾何構造的領域。幾何結構是定義大小、距離、形狀、體積或其他剛性結構的概念的結構。例如，在黎曼幾何中，距離和角度是指定的，在辛幾何中可以計算體積，在等距幾何中只指定角度，在規範理論中，某些場是在空間上給出的。微分幾何與微分拓撲密切相關，有時也包括微分拓撲，它關注的是不依賴於任何其他幾何結構的可微流形的性質（有關這兩個領域之間區別的進一步討論，請參閱該文章）。微分幾何也與微分方程理論的幾何方面有關，這也被稱為幾何分析。微分幾何被廣泛應用於數學和自然科學。微分幾何的語言被阿爾伯特·愛因斯坦在他的廣義相對論中進一步使用，後來被物理學家用於發展量子場論和粒子物理的標準模型。在物理學之外，微分幾何被用於化學、經濟學、工程學、控制理論、計算機圖形學和計算機視覺，以及最近的機器學習。